DM:Problème Polynôme symétrique du 4e degré

[invite4b3d3890]

P(X)=5X^4-7X^3+2X^2-7X+5

P(A)=0
P(1/A)=0

On note Z=(A+1/A).
Et 5Z^2-7Z-8=0

Trouver les racines de P.

MERCI EN AVANCE
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[Jon83]

Bonjour!
Dis nous au moins ce que tu as commencé à faire!!!

[invite4b3d3890]

Jai commencé a trouver delta = 209.
Et Z1: (7-rac(209))/10 Z2: (7+rac(209))/10.

Oui c tous.

[Jon83]

C'est un bon début!
Maintenant, pour trouver les racines en x, tu utilises le changement de variable qui te donne x en fonction de z, et tu examines les différents cas possibles!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b3d3890]

Jai trouvé maintenant : pour Z=(7+rac(209))/10
Z=(X+1/X)
ALors:

0=X²-X((z+rac(209))/10)+1

et je veux utiliser delta pour trouver X. Mais les calculs sont vraiment dur à faire. SVP AIDEZ MOI! J'Y N'ARRIVE PAS

[Jon83]

Tu t'y prends mal!
De tu obtiens une nouvelle équation du 2ème degré:

C'est une équation du second degré où z peut prendre les valeurs et que tu as a trouvé précédemment.
Tu auras donc deux cas à étudier:

1er cas: tu calcules le déterminant et tu sorts les deux premières racines;

2ème cas: tu calcules le déterminant et tu sorts les deux autres racines!

Les calculs sont un peu chargés, mais pas compliqués; il faut être rigoureux pour ne pas faire d'erreur!!!

[invite4b3d3890]

1) comment tu tape les racines les Z1 etc?
2) Alors je calcule le discrimnant du équation du 2ème degré...
Δ=(14rac(209)-142)/100
Alors Z1= (-b+rac(Δ))/2 et Z2=(-b-rac(Δ))/2
Ces calcules sont très difficiles pour moi.. je sais pas comment résoudre.

De plus tu parle de Z=z1 et les déterminant etc. J'ai aucune idée de quoi tu parle! :S

S'il te plait aide et explique moi... Merci en avance. Tu es très gentil!

[invite4b3d3890]

est-ce que tu parle du discriminant ou quoi?
parce que je crois que Alors Z1 et Z2 sont les seules racines et les seules solution de l'équation non?

[Jon83]

Oups, coquille! Il faut lire "discriminant" et non "déterminant"... Désolé
et sont les racines que tu a trouvé précédemment:

et

Je ne peux pas aller plus loin car c'est à toi de faire le travail...
Allez, courage, tu vas y arriver!!!

[Jon83]

est-ce que tu parle du discriminant ou quoi?
parce que je crois que Alors Z1 et Z2 sont les seules racines et les seules solution de l'équation non?

- oui, c'est "discriminant" qu'il faut lire (delta=b²-4ac)
- une équation de degré n à n racines (réelles ou complexes) --> ici, l'équation étant de degré 4, il y a 4 racines!!! (pour info, deux sont réelles et deux sont complexes)

[invite4b3d3890]

Pour Z1, delta est négative, pas de solution. Pour Z2 jai trouvé
Δ=(14rac(209)-142)/100

X1= (-b+rac(Δ))/2 et X2=(-b-rac(Δ))/2

Je n'arrive pas à "faciliser" ces deux résultats.

Mais je sais que X1 et X2 sont alors déjà 2 racines.
Mais comment trouver les autres 2?

[Jon83]

Dans l'équation tu remplaces cette fois z par
Tu vas calculer un nouveau discriminant, et de là les deux dernière racines...

[invite4b3d3890]

Quand on remplace dans cette équation z par z1 il n'ya ppas de solution. Il y a seulement 2 solutions, quand on remplace z par z2...

[Jon83]

En quelle classe es-tu?
As tu étudié l'ensemble des nombres complexes?

[invite4b3d3890]

Premier S. De plus mon prof a dit que pour un polynome de degré n, il y a au maximum n racines.

Je résume:
Quand je remplace dans l'équation X²-zx+1=0
Z par Z1, delta est négatif. admet pas de solution
Z par Z2, delta admet deux solution complexes.

[Jon83]

1ère S! Fallait le dire plus tôt....et j'ai oublié de te le demander au début!!!
Donc, à ce niveau vous ne connaissez pas l'ensemble des nombres complexes; vous ne connaissez que l'ensemble R des nombres réels.
Cela signifie que dans une équation du 2ème degré, si le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de racines dans R.
Donc pour ton exercice, il n'y a que deux racines réelles!

[invite4b3d3890]

HAHA
Mais s'il te plait montre moi comment résoudre avec les nombres complexes

[invite4b3d3890]

De plus dit moi stp si les réponses sont correctes: jai trouvé
commes racines:

((7+rac(209))-rac(14rac(209)-142))/2

et

((7+rac(209))+rac(14rac(209)-142))/2