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équation symétrique du 4ème degré



  1. #1
    anna63

    équation symétrique du 4ème degré


    ------

    j'ai un problème pour l'exercice suivant : on me donne l'équation (E)
    x^4-4x^3+2x^2-4x+1
    a) j'ai démontré que 0 n'été pas solution de (E)
    b) je doit démontrer que si x indice0 est solution de (E) alors 1/x indice0 est aussi solution de (E)

    j'ai commencer par éssayer de démontrer que :
    x^4-4x^3+2x^2-4x+1 -( 1/x^4 -4/x^3 +2/x^2 -4/x +1)=0

    je finis par obtenir : x^12 +2x^10 -8x^9 +5x^4=0
    suis-je dans la bonne voix?

    -----

  2. #2
    bretus

    Re : équation symétrique du 4é degrès

    Si tu prennais des notations propres, tu y verrais peut être plus clair :
    (E) doit être x^4-4x^3+2x^2-4x+1 = 0 (une équation et non une expression)

    Tu dois montrer que si : x0^4-4x0^3+2x0^2-4x0+1 = 0
    alors : ( 1/x0^4 -4/x0^3 +2/x0^2 -4/x0 +1)=0

    Il semble qu'une simple multiplication par x0^4 suffise...

    Prenez des notations propres, sinon vous ne savez même pas ce que vous devez démontrer...

  3. #3
    Namsam

    Re : équation symétrique du 4é degrès

    Non tu risque de t'embarquer dans des calculs infinissables!
    Tu es sur une équation de degré 4, restes-y.

    je pense que ton équation (E) est:
    x^4-4x^3+2x^2-4x+1 =0 ? (Tu as oublié le =0)

    Tu as vérifié que 0 n'est pas solution en remplacat x par 0 et en arrivant à une abhérration (1=0)
    Si x0 est solution, il n'est donc pas nul!
    Et on a:
    x0^4-4x0^3+2x0^2-4x0+1 =0

    Il te suffit en fait de remplacer x par 1/x0 dans x^4-4x^3+2x^2-4x+1 et essayer de retomber sur l'expression en fonction de x0 juste au dessus.
    En fait tu aura montré que si x0 est solution, l'équation est aussi vérifiée pour 1/x0
    Aide: Part du fait que x0 est solution et souvient toi que ce nombre n'est pas nul!
    "Agis comme si ton action devait être érigée en principe universel"

  4. #4
    Al-Kashi

    Re : équation symétrique du 4é degrès

    Salut,

    Tu peux traiter cette question de différentes manières. Voici une d'elles:

    Soit ,

    Si est une solution, alors



    Factorise par , on a donc:

    .

    Or puisque , alors:

    .

    On en déduit que est bien une solution
    Cordialement

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