Bonjour.
Ce n'est pas une question, mais j'ai voulu faire un petit rappel de formules trigonometrique, pour ceux qui en aurait besoin.
1) cos²(x)+sin²(x)=1
2) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) Attention -
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
3)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b) cos(a)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a) attention -
4)cos(p)+cos(q)=2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)
cos(p)-cos(q)=-2sin((p+q)/2)sin((p-q)/2)
5)sin(p)+sin(q)=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
sin(p)-sin(q)=2cos((p+q)/2)sin((p-q)/2)
6) cos(2x)=2cos²(x)-1
cos(2x)=1-2sin²(x)
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
7)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
Uniquement si a et b different de pi/2 [pi]
8)si 1+tan(a)tan(b) different de 0
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
Les formules qui sauvent la vie pour les primitives
t=tan(x/2)
9) cos(x)=(1-t²)/(1+t²)
10)sin(x)=(2t)/(1+t²)
11) si t different de -1 et 1
tan(x)=2t/(1-t²)
12)cos²(x)=1/(1+tan²(x)); x different de pi/2[pi]
sin²(x)=1/(1+cotan²(x)); x different de pi[pi]
1+tan²(x)=1/(cos²(x)) x different de pi/2
Les demonstrations.
1) On utilise la formule d'Euler
exp(ix)=cos(x)+isin(x); i€C
On a sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)
cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/(2)
Mettre sin(x) au carré, et cos(x) aussi; faire l'addition.La formule est démontré.
2)3)4)5)On réutilise les formules d'Euler
6)cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x )-sin(x)sin(x) On utilise 2)
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x);
d'après 1) sin²(x)+cos²(x)=1
Donc -sin²(x)=-1+cos²(x) (on fait passer de l'autre coté)
cos(2x)=cos²(x)+cos²(x)-1
cos(2x)=2cos²(x)-1
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
D'après 1) -cos²(x)=-1+sin²(x)
Donc: cos²(2x)=1-sin²(x)
7)sin(2x)=sin(x+x)
sin(2x)=cos(x)sin(x)+cos(x)sin (x)
sin(2x)=2cos(x)sin(x).
On a utilisé 5)
8)long, remplacer tan(u)=sin(u)/cos(u)
Utiliser les formules de developpement du sin et cos, en étant patient on arrive au resultat.
9)10)11)Il suffit de remplacer.
12)cos²(x)+sin²(x)=1
1+tan²(x)=1/(cos²(x)) On divise par cos²(x)
On fait la fonction inverse de la derniere expression.
1+tan²(x)=1/(cos²(x)) si 1+tan²(x) different de 0
1/(1+tan²(x))=(1/1/(cos²(x))
cos²(x)=1+tan²(x). Diviser une division, c'est la multipiler par son deuxieme diviseur(mal dit)
cotan(x)= cos(x)/sin(x)
On fait la même chose.
Voilà, je sais qu'il manque pas mal de formules, mais ce sont celles qu je trouve les plus importantes, il manque aussi la linearisatio(comme cos²(x)=(1+cos(2x)/2)); des demonstration faites(pas seulement les idées, mais c'est long à faire); et être moins faineant ne pas écrire :1+tan²(x) different de 0, mais donner les x, tel que cette expression soit different de0.
Ce sera à venir.
S'il y a des questions ou des remarque, ou des corrections...
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