renseignement sur un encadrement de fonction irrationnelle :)

[inviteb31e526f]

bonsoir ci dessous j'ai mis l'énoncé de mon exercice le but de ce message est de savoir si mon raisonnement est bon en premier lieu, puis vous allez voir que j'ai fait deux encadrements, et je souhaiterai savoir si c'est possible que cet encadrement tienne uniquement sur une seule ligne; vous en remerciant d'avance


f est une fonction définie sur [0 ; + ∞[ par :
f(x) = √(1+x) - √(x)

1- vérifier que pour tout réel x ≥ 0 :
f(x) = 1/[√(1+x) + √(x)]

j’ai réussi à le prouver

2- déduisez-en que pour tout réel x ≥ 0 :
1/[2√(x+1)] ≤ f(x) ≤ 1/[2√(x)]

Voici mon raisonnement ce que j’aimerai savoir c’est si ma méthode est bonne, premièrement et deuxièmement s’il existe un moyen plus rapide qui me fasse un encadrement en une seule fois au lieu de deux encadrements

Pour tout x ≥ 0 :

√(1+x) > √(x)
√(1+x) + √(x) > 2√(x)
1/[√(1+x) + √(x)] < 1/[2√(x)] ( car x "qui associe" 1/x est décroissante)

Ensuite :
√(1+x) > √(x)
2√(1+x) > √(x) + √(1+x)
1/[2√(x+1)] < 1/[√(1+x) + √(x)] ( toujours car x "qui associe" 1/x est décroissante)

Donc :

1/[2√(x+1)] ≤ f(x) ≤ 1/[2√(x)]
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[inviteec33ac08]

Au début il serait plus judicieux de partir de x<x+1 puis utiliser la croissance de la fonction racine carré sur [0; +infini[

[inviteb31e526f]

ah ok je vois je vais essayer cela alors ^^