Suite Vrai ou Faux (Concours 2010 ESIEE )

[invite706a536b]

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide pour un Dm de math issu du concours ESIEE (l'exo 9) de Mai 2010.

Voilà une partie de l'énoncé, c'est un Vrai ou Faux ( je pense pouvoir me débrouiller pour le reste de l'exercice, si je comprend ça) :

"Soit (Un) une suite réelle positive.

Si pour tout n de N, Un <= n alors (Un) converge."

On m'as dit que c'était faux, mais je ne sais pas comment le démontrer.

Je sais que qu'une suite croissante/décroissante et majorée/minorée est convergante, mais je vois pas comment faire.

Merci de votre aide
-----

[inviteec33ac08]

Un contre exemple devrait faire l'affaire

[invite2103f7d3]

Ton théorème sur les suites convergentes est vrai, mais là en l'occurence on ne sait rien du sens de variation de la suite (Un), et l'identité ("n" dans l'exercice) n'est même pas bornée, donc ce n'est probablement pas le théorème à utiliser.

Je t'invite alors à imaginer en contre exemple une suite qui ne convergerait pas mais dont les termes serait toujours inférieure ou égale à l'identité.

[invite706a536b]

Merci pour votre aide!

Je sais que : "Un=(-1)^n" n'est pas convergente.

Si je dis que cette suite n'est pas convergente ça suffit ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2103f7d3]

Alors oui c'est une bonne idée !
Maintenant il suffit de monter que


Est bien inférieure ou égale à l'identité


pour n assez grand !
(et oui car attention, cette inégalité n'est pas vraie en 0 :
Id(0):=0 et (-1)^0=1

Mais ceci ne devrai pas être trop dur, et quand bien même ça le serait, je pense que tu peux donner cette inégalité comme ça, ça va de soi.

[inviteec33ac08]

Tu peux toujours le montrer par récurrence à partir du rang n>=1

[invite706a536b]

J'ai essayer de faire le reste des exos :

"Soit (Un) une suite réelle positive.

1-Si pour tout n de N, Un <= n alors (Un) converge.
"Un=(-1)^n" n'as pas de limite et, est donc divergente.Donc Faux

2-Si pour tout n de N, Un >= (n/2) alors (Un) est divergente.
"Un=(-2/2)^n"
soit "Un=(-1)^n" n'as pas de limite et, est donc divergente.Donc Vrai

3-Si pour tout n de N, "Un>= n" alors (Un) est croissante.
Pas sûr :
Un=3n-3
Un+1=3n-2
alors Un+1-Un = -5
et -5<0 donc la suite est décroissante donc FAUX ?
4-Si pour tout n de N, "Un<= (1/n)" alors (Un) est décroissante.
Pareil...

5-Si pour tout n de N, "n^2= n^2*Un<= n^2 + n"alors (Un) est décroissante.
Je bloque...

[invite36f5c9f9]

Pour la question 1/, cela ne marche pas en zéro, on peut penser à Un=1/2*n
La question 2/, tu as faux aussi, étant donné qu'on te dit que ta suite Un doit être positive.
Pour la question 3/, tu as aussi faux, car tu prends:
Un=3n-3, donc Un+1=3(n+1)-3=3n
donc Un+1-Un=3

[invite36f5c9f9]

Pour la réponse 3/, c'est vrai car si tu as Un>n
Alors Un+1>n+1
donc Un+1-Un>1
donc croissant

[invite706a536b]

Comment faire pour la 2 alors...?
Je suis désoler je vois pas du tout : /

[invite2103f7d3]

Et bien c'est dit dans lénoncé en fait :


Or


Tu dois pouvoir aisément en déduire la limite de Un.