Sens de Variation et limite incompatible

[invite78f958b1]

Bonjour à tous et à toutes !

J'ai voulu faire une étude de fonction mais je trouve un résultat assez bizarre.
Pour f(x) = 5/(2x+1)
f '(x)= -10/(2x+1)²

Donc f est strictement décroissante sur R.
Cependant quand je cherche la limite en -∞, je trouve 0- et en +∞, je trouve 0+.
C'est incohérent ? Elle décroit en +∞ vers une valeur qui est supérieur à la limite en -∞ .
Merci de m'expliquer.


Aussi, je voulais demander, à tout équation à coefficient Réel dans C, trouvons nous toujours des solutions conjugués ?

Merci de votre aide .
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[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Donc f est strictement décroissante sur R.

Là, voila l'horreur. f n'est pas définie sur R, elle va avoir du mal à y être décroissante. Elle est décroissante sur ]-∞, -1/2[ et elle est décroissante sur ]-1/2, ∞[, mais pas sur l'union des deux.

[invitee4ef379f]

Bonsoir,

1) Il n'y a rien d'incohérent; tu as juste oublié de finir d'étudier ta fonction. Prends exemple sur la fonction inverse: de quel type de courbe s'agit-il? Et quelle particularité possède-t-elle?

2) Non pas toujours. Cela dépend du degré de ton équation, de sa linéarité, etc. Si maintenant tu parles des polynômes d'ordre 2, comme je l'imagine, ce n'est pas vrai non plus: si le discriminant est nul on obtient une seule solution (dite double, mais passons), si le discriminant et positif on obtient deux solutions réelles distinctes, qui par extension sont aussi complexes avec une partie imaginaire nulle. Enfin c'est seulement si le discriminant est négatif que tu obtiendras deux solutions complexes, effectivement conjuguées.

Bonne continuation.

Edit: S321 tapote trop vite pour moi!

[inviteaf48d29f]

Aussi, je voulais demander, à tout équation à coefficient Réel dans C, trouvons nous toujours des solutions conjugués ?

Oui. Un polynôme dans C s'écrit a(X-x₁)(X-x₂) où x₁ et x₂ sont les racines (qui existent toujours dans C).
Quand on le développe ça donne a(X²-(x₁+x₂)X+x₁x₂)
si le polynôme est à coefficient réel ça signifie donc que x₁+x₂ et x₁x₂ sont réels (donc de parties imaginaires nulles). En récrivant x₁=a+ib et x₂=c+id
La première condition donne b+d=0 donc d=-b.
Pour le produit (a+ib)(c+id)=ac-bd+i(ad+cb)
en réutilisant que d=-b
(a+ib)(c+id)=ac-bd+ib(a-c)
d'où soit b=0 et dans ce cas les racines sont réelle et le problème ne se pose pas, soit a=c et dans ce cas les racines sont effectivement conjuguées.

QED !

Edit : Plume d'œuf tapote aussi un peu vite finalement ^^. Effectivement j'ai zappé à peu près toutes les hypothèses, mais ça marche quand même.

[A voir en vidéo sur Futura]