Démonter par récurrence majoration/minoration

[invite48ca7510]

Bonjour,

je voudrais savoir comment démontrer par récurrence qu'une suite est majorée et minorée.

Par exemple, la suite définie par est minorée par -4. Comment le démontrer ? (U0 = 1)

Idem avec une suite Vn, définie par = majorée par -4. (V0 = -6).

Merci d'avance !
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Je ne considèrerai que la première récurrence, le même principe s'appliquant pour la seconde. Comme tous les raisonnements par récurrence, on procède en deux temps:

1) Initialisation de la récurrence: on trouve une valeur N₀ pour laquelle la propriété que l'on cherche à démontrer soit vraie pour n=N₀ (ici U_N0 < -4).

2) On suppose qu'il existe un certain rang N pour laquelle la propriété est vraie et on montre qu'elle est vraie au rang N+1.


Ici quelle valeur de N₀ considères-tu pour initialiser ta récurrence? Quelle supposition fais-tu? comment passes-tu au rang N+1?

[invite48ca7510]

Voilà ce que j'ai fais; je bloque totalement par la suite ...

"Montrons par récurrence que (Un) est minorée par -4.
Initialisation: =1 et -4 Un

Hérédité: Soit p N un rang fixé tel que la propriété est vraie; soit -4 Up
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang p+1, soit : -4 "

Voilà où j'en suis ...

[invitee4ef379f]

Pour l'initialisation ça ne va pas: tu ne peux pas dire que U_n < -4 puisque c'est ce que tu cherches à démontrer.

Pour 'hérédité, tu commences bien. Tu as donc: U_p < -4.

En partant de là, comment passes tu de U_p à U_p+1? Il suffit juste de prendre ton inégalité de départ et de la transformer...

Bon courage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

C'est un bon début, mais il te faut remplacer U_p+1 par son expression découlant de l'énoncé

[invite48ca7510]

Initialisation: u0=1 et -4 1

Hérédité: soit p appartient à N un rang fixé tel que la prorpiété est vraie. Soit -4Up
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang p+1, soit -4Up+1

On a -4Up

x -4 Up x

-2 + (-2) xUp -2

-4 Up+1

On montre ainsi, avec l'axiome de récurrence, que la suite (Un) est minorée par -4.



C'est bon ? =)

[invitee4ef379f]

C'est parfait

Bonne continuation!

[invite48ca7510]

Et je suppose que pour démontrer que Vn est majorée par -4, il suffira de refaire ça en modifiant bien sûr le sens ? ( -4 Vn)

Merci bien de m'avoir aidé ! =)

Passez une bonne soirée !

[invite48ca7510]

Bonjour,

j'ai encore une petite question concernant la récurrence :
comment démontrer, par exemple, qu'une suite (Vn) est croissante, avec V0 = 1 et


J'ai, au préalable, tracé la fonction f définie par f(x) = et démontrer qu'elle était strictement croissante sur .

Après avoir prouvé que la suite est croissante, j'aurais aussi a en déduire que la suite est convergente ainsi que sa limite...


Je suis perdu; surtout avec des racines dedans...

[invitebb9feeb7]

J ai une petit question concernant la nature des suites:

Etudier la nature des suites définies par:
Un=ln(n+1)/(2n+1)^1/2

[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu es supposé ouvrir un nouveau fil.

Cordialement

[invite2b0650e6]

4ans après, ça c'est fort!

[invitebb9feeb7]

Hhhhhhh ça fait long temps