Exercice sur les limites et dérivées, Terminale S

[inviteab0994ec]

Bonjour, je me tourne à nouveau vers vous pour m'aider sur quelques exercices de mathématiques de terminale S que j'ai du mal à résoudre.

Le premier est consacré à la dérivée d'une fonction, je pense l'avoir réussit. Le second, en revanche, porte sur les limites et j'ai un peu de mal. Voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = (x³ - 2) / (x² + 1). On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1) Déterminer lim_{(x --> +∞)} et lim_{(x --> -∞)} de f(x).

2) Calculer f'(x).

3) En déduire que f'(x) et x . g(x) ont le même signe.

4) Dresser le tableau de variations de f.



Je bloque dès la première question. J'ai pris g(x) = x³ - 2 et h(x) = x² + 1 pour avoir f(x) = g(x) / h(x).
Le problème, c'est que les limites en +∞ ou en -∞ de g et h sont respectivement +∞ et -∞. Le calcul de f(x) étant alors indéterminé. Du coup, j'ignore totalement quelle est la marche à suivre.

Merci d'avance de m'apporter vos lumières.
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[invite51d17075]

bonjour,
tu as du voir dans ton cours que dans ce type d'indetermination, il faut regarder les termes de plus haut degré.

[inviteab0994ec]

Merci beaucoup ! J'ai pu faire le premier exercice, du coup. J'arrive à lim_{(x --> +∞)} f(x) = -∞ et lim_{(x --> -∞)} f(x) = +∞ ;

En revanche, je suis toujours coincé sur le deuxième. J'ai pris g(x) = x³ - 2 et h(x) = x² + 1.

J'ai donc g'(x) = 3x² et h'(x) = 2x.

A partir de là, j'ai appliqué la formule pour obtenir la dérivée de g/h mais je tombe sur une opérations avec beaucoup beaucoup de facteurs et je me demande si je n'ai pas fait fausse route. Donc si vous pouviez me mettre à nouveau sur la voie...


En tout cas, merci encore pour ce premier coup de main.

[inviteaabf7978]

pour faire la dérivée de g/h tu dois utiliser la formule de la dérivée d'un quotient

(g/h)' = (g'h - h'g) / h²

et ca doit se simplifier normalement ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab0994ec]

Oui, en effet, j'avais fait une erreur de calcul toute bête jusque là. Donc encore une fois merci, j'ai fini par arriver au bout

[invite51d17075]

Merci beaucoup ! J'ai pu faire le premier exercice, du coup. J'arrive à lim_{(x --> +∞)} f(x) = -∞ et lim_{(x --> -∞)} f(x) = +∞ ;

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ce n'est pas plutôt l'inverse ou une faute de frappe ?

[invitebc2ed557]

limf(x)=+infini quand x=+infini , et limf(x)=-infini quand x=-infini , (limf(x)=lim(x^3/x^2)=lim(x) .