DM de Mathématiques (Terminal S)

[invite75931d9f]

Bonjour à tous,

J'ai un DM à finir d'urgence, et j'avoue que je suis perdu :S

Voilà une partie de l'énoncé :

Soit la fonction g définie sur ]1:+inf[ par g(x) = x²V(x²-1) - 2 .

V(x²-1) est racine de x²-1.

1. Je dois démontrer que g est strictement croissante.
2. Je dois démontrer g(x) = 0 admet une solution a
3. Je dois déterminé un encadrement de a à 10^-2
4. Je dois dois calculer g(V2), et en déduire a
5. Je dois déduire de ce qui précède le signe de g.

Je suis bloqué à la première question.
Je sais que je dois d'abord calculer sa dérivé, je justifie donc son domaine de dérivabilité en étant somme et produit de fonctions dérivables sur ]1;+inf[ puis je commence a calculer g'(x) et je trouve :

g'(x) = (6x³ - 4x) / (2V(x² - 1))

Ai-je le bon résultat ? Comment faire ensuite ?
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[biloux911]

Salut,
tu as le bon résultat (ou presque : SIMPLIFIE par 2 !!!)
ensuite tu factorise par x en haut par exemple soit : x(3x²-2), de là, la positivité de tous les termes est évidente sur ton intervalle

question 2 tu peux regarder g(0) et g(2) et te servir de la 1

[invite75931d9f]

Merci j'ai continué et j'ai réussi à finir cette partie.

Mais je n'aurais pas dut tenter de virer la racine pour le mettre au numérateur ?

Sinon, je bloque sur une dérivé :

Soit f(x) = (1/2)x - (V(x²-1))/x


J'ai trouvé : f'(x) = 1/2 - (V(x²-1)) / (x²(x²-1))

[biloux911]

Mais je n'aurais pas dut tenter de virer la racine pour le mettre au numérateur ?

Ça ne te choque pas de laisser une fraction non simplifiée mais ça te choque une racine au dénominateur oO !
Pour l'exercice en soit ça ne me parait pas indispensable après c'est presque une affaire d'esthétique (et c'est plus esthétique de ne pas laisser de racine au dénominateur en effet)
Sinon pour ta dérivée, il faut croire que tu n'es pas si bloqué que ça, elle semble tout à fait correcte

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75931d9f]

Dac, merci .

1. Je dois montrer que f' est du signe de g.

Edit : je fais f' - g ?

2. Puis déterminer les lomites de f aux bornes de son domaine de définition
3. puis dresser le tableau de variation complet de f.

Comment je fais la une sans tableau de variation ?

[biloux911]

Quand tu commences à faire les questions et les réponses sur un forum il faut envisager de pas poster avant d'avoir bien réfléchi ^^

je fais f' - g ?

Ça me semble bien oui

[invite75931d9f]

Dac'.

Par contre je ne vois pas du tout comment résoudre
f'(x) - g(x) = 1/2 - V(x²-1) / (x²-1) - x² V(x²-1) - 2

Tu aurais une piste pour m'aider ?

Quand je met tout sur le même dénominateur, çà complique plus qu'autre chose :S

[biloux911]

alors sans doute que regarder le signe de f'/g c'est mieux que faire f'-g (il faudra faire attention si g = 0).
(J'ai pas tout ton énoncé mais il faut sans doute de resservir de résultats déjà trouvés.)
Bon courage

[invited8d9770b]

Salut,

1. Je dois montrer que f' est du signe de g.

Edit : je fais f' - g ?

Moi je dirais: non. Les expressions de f'-g, f'*g, f'/g sont un peu lourdes ...
Gardes f' seul, tu n'as que deux intervalles à considérer vu l'étude faite précédemment sur g(x). Et montrer que dans ces deux cas f' est du signe trouvé plus tôt pour g est assez simple. Mais pour ça tu devrais laisser la racine en bas dans l'expression de f'.
Sinon, on peut aussi constater que f' et croissante et a la même racine que g.

Courage !

[invite75931d9f]

Merci, mais en faite je m'étais trompé pour f'(x), je suis tombé sur f'(x) = g(x) / Quelque chose de positif, donc f'(x) dépends du signe de g(x).

Merci de votre aide :°).