Dm sur les fonctions 2nd

[invite1a13e88d]

Bonjour ,
je dois faire un Dm sur les fonctions , mais il est très difficile et je ne comprend rien !! Svp , si vous pourriez m'aider sa serait très gentil .

On appelle " arbelos d'archimède " le domaine délimité par les 3 demi cercle de diamètres respectifs [AB] , [AM] et [MB] , comme sur la figure ci contre .
On désigne par P (x) le périmètre de l'arbelos et par A(x) l'aide de l'arbelos .

1/ Montrer que P(x) est constant pour x appartient à [0, 6 ] .
2/ Montrer que A(x) = PI /4 (6x-x2 ) , avec x appartient à [O , 6 ]
3 / Que vaut A ( O ) ? Et A (6) ?
4 / En déduire que l'aire de l'arbelos est maximale pour certaine valeur de x que l'on précisera .


Merci d'y répondre rapidement svp , merci d'avance !!


Ps : vous avez la pièce jointe
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ne connais-tu pas l'expression du périmètre d'un cercle (ou d'un demi-cercle) en fonction de son rayon ou de son diamètre ?
De même, pour l'aire d'un (demi-)disque en fonction de ces mêmes grandeurs ?

Le 3. et le 4. peuvent être faits en utilisant le résultat donné dans l'énoncé du 2.

Tente quelque chose de ton côté.

Duke.

[invite1a13e88d]

Si je les connait le périmètre c'est : PI * r
rt l'aire : Pi / 2 * r2
Mais aprés je ne vois pas qe que je doit faire quand il me demande montrer soit qu'il est constant pour la 1 et pourquoi A = cela dans la question 2 , je ne sais pas comment procéder !
Ensuite pour la 3 j'ai fait A(o) = .... j'ai remplacer les x par 0 dans la formule que l'on me donner et pareil pour 6
Dans les 2 je trouve PI / 4
Ensuite le 4 j'ai pas compris non plus !! Comment dois je faire svp !!
Merci d'avvance

[epiKx]

Bonjour, thérèse26,
Dans les premières questions et comme l'a fait remarquer à juste titre Duke Alchemist, il faut simplement appliquer les formules de périmètre et d'aire du cercle à la situation. Pour la 1),tu devrais alors trouver un résultat constant quel que soit x sur l'intervalle considéré c'est à dire qui ne dépend pas de x, par exemple P(x)=1 (ce résultat est volontairement faux). petite indication:.
Pour ce qui est de la 3), aïe aïe aïe... , ça fait combien? Certainement pas en tout cas car sinon 0=1 et je suis le pape!!!!
Pour la 4), étant une constante dans l'expression de A(x), l'aire est maximale lorsque 6x-x^2 est maximale c'est-à-dire lorsque x(6-x) est maximale. Il est alors évident que x=3 car x doit être à la fois minimum et maximum.On a donc 3*(6-3)=3*3=9 et A(3)=
Je rajoute une dernière question pour m'assurer que tu as bien compris diable6 :
5-Que représente alors l'aire de A(x) par rapport à l'aire totale du demi-disque AB?
En espérant t'avoir aidé, epiKx.
Note: l'exercice s'appelle "arbelos" d'Archimède car ce résultat (magnifique) a dû être découvert par ce savant grec mais ce n'est évidemment pas le seul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Eurole]

Si je les connait
le périmètre c'est : PI * r
et l'aire : Pi / 2 * r2
...

Bonjour.
Avant de partir, il est utile de vérifier ses bagages.
Quand les formules seront justes, on pourra essayer de faire un pas.

[Eurole]

Bonjour.
Avant de partir, il est utile de vérifier ses bagages.
Quand les formules seront justes, on pourra essayer de faire un pas.

Autant pour moi.
Les formules sont justes, il s'agit de demi-cercles.

[Eurole]

re.
Voici un tableau qui pourra aider.

[Eurole]

Ce serait dommage de s'arrêter sur le chemin d'un si beau thème.
Avez-vous remarqué la parenté de cet arbelos avec le symbole du Tao ?

Dans ce symbole l'aire du cercle est divisée en quatre parties égales et symétriques.

Je joins un schéma préparatoire.

Où en est Thérèse26 ?

[invite1a13e88d]

Bonjour ,
bon je crois avoir trouver pour le 1 :
j'ai fait ;
p = pi * r
on sait que AM = x et BM = 6-x , AB = 6
Donc p = pi * 3 = 3pi = 9, 42

on sait que r = 3
voila bon pour le 2 :
(pi * r²) / 2
= (pi * 3 ²) / 2
= ( pi *9 ) / 2 = 4.5 pi = 14, 13
voila j'ai réussi cela mais sa ne colle pas avec la formule donner
a(x) = pi / 4 ( 6x-x ) ²

Ensuite le 3
je fait
A(o) = pi / 4 * ( 6*0-0² ) = pi / 4 * 0 = 0
A( 6 ) = pi / 4 * ( 6*6 - 6² ) = pi /4 * ( 36 -36 ) = 0

Donc les 2 sont = O ???


Ensuite le 4 , c'est se que vous m'avez noté ? Il me semble que c'est cela , si vous povez me me confirmer merci !!

Merci pour votre rep et le tableau ma beaucoup servi !! merci de continué a m'aider svp

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

bon je crois avoir trouver pour le 1 :
j'ai fait ;
p = pi * r
on sait que AM = x et BM = 6-x , AB = 6
Donc p = pi * 3 = 3pi = 9, 42

on sait que r = 3

D'où vient cette hypothèse ?

Je te propose de reprendre la formule que tu as proposée, à savoir et de l'appliquer pour le demi-cercle de :
- diamètre 6 (-> p₁ = ...)
- diamètre x (-> p₂ = ...)
- diamètre .?. (->p₃ = ...)
Je te laisse compléter le .?. ci-dessus.
Comment exprimer le périmètre de l'arbelos en fonction p₁, p₂ et p₃

voila bon pour le 2 :
(pi * r²) / 2
= (pi * 3 ²) / 2
= ( pi *9 ) / 2 = 4.5 pi = 14, 13
voila j'ai réussi cela mais sa ne colle pas avec la formule donner
a(x) = pi / 4 ( 6x-x ) ²

En effet, tu as considéré encore que r=3 mais c'est le cas du maximum comme te l'a proposé epiKx et c'est pour la question 4.
Je te propose de faire comme le 1. mais avec les aires au lieu des périmètres : les formules doivent être adaptées. A toi de retrouver l'expression donnée dans l'énoncé.

Ensuite le 3
je fais
A(o) = pi / 4 * ( 6*0-0² ) = pi / 4 * 0 = 0
A( 6 ) = pi / 4 * ( 6*6 - 6² ) = pi /4 * ( 36 -36 ) = 0

Donc les 2 sont = O ???

OK. Qu'y a-t-il de gênant à ce qu'elles soient nulles toutes les deux ? Ce sont les cas limites. Entre les deux, ce n'est pas le cas bien entendu.

Ensuite le 4 , c'est se que vous m'avez noté ? Il me semble que c'est cela , si vous povez me me confirmer merci !!

comme l'a indiqué epiKx plus haut

Duke.

[invite1a13e88d]

Bonjour ,
Alors pour le 1 :
P = pi *r
Am = pi * x / 2 = x/2 pi
MB = pi * x-6 / 2 = x-6 / 2 pi
AB = pi * 6/2 = 3 pi

Aprés je n'arrive pas a calculer le total je m'y perd !!

Le 2 :
A = r² * pi / 2
Am = x² / 2 * pi / 2= x² * pi / 2*2 = x² pi / 4
MB = x² - 36 pi / 4
AB = 9/2 pi

La non plus je n'arrive pas a calculer le total

Merci pour votre aide

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je reprends en modifiant en fonction de mes notations si tu veux bien.
Cela ne veut pas dire que ce sont celles qu'il faut prendre dans ton DM

Alors pour le 1 :
P = pi *r
p₁ = pi*x/2
p₃ = pi*(6-x)/2
p₂ = pi*6/2 = 3 pi

Aprés je n'arrive pas a calculer le total je m'y perd !!

ATTENTION ! C'est 6-x et non x-6 qui te donnerait un périmètre négatif.
Comment mesures-tu le périmètre (= la longueur) d'une surface ? En faisant la somme de tous les côtés, non ? Eh bien là, tu fais pareil. Tu auras donc p = ........... (en fonction de p₁, p₂ et p₃)

Le 2 :
A = r² * pi / 2
A₁ = (x/2)²*pi/2 = pi*x²/8
A₃ = ((x-6)/2)²*pi/2 = pi*(x-6)²/8
A₂ = 9/2 pi

La non plus je n'arrive pas a calculer le total

Je te laisse corriger l'erreur en bleu.
Avec le dessin, ne vois-tu vraiment pas comment exprimer l'aire de la figure en fonction des demi-disques dont tu as calculer les aires ?

Duke.

[invite1a13e88d]

merci beaucoup !!

Pour le 2 l'aire de AB = (6/2) ² * pi / 2 = 36pi / 8

Et pour l'aire je ne vois pas du tout j'essaye d'additioné de soustraire , tout mais je n'y arrive pas sa ne colle pas avec la formule que l'on ma donne !
Si vous pourriez m'éclaircir merci !

[epiKx]

Pour l'aire, je te conseille de calculer toutes les aires(demi-disque MA,MB,AB) une par une puis ensuite seulement de les additioner (ou soustraire).
epiKx

[invite1a13e88d]

oui c'est se que je fais mes je m'nbrouille avec tout pi et x !!
Les aires je les ai c'est le total que j'arrive pas

[invite1a13e88d]

J'ai calculé toute les aires avec la formule : r² * pi / 2
AM = x² * pi /2
MB = (36 - x² ) pi / 2
AB = 18 pi
Aire totale = AM +MB -AB
= O

ESt se que c'st normal ?
Car je n'arrive pas trouver l'expression qu'ils me donnent ? merci de m'aider rapidement svp

[Eurole]

J'ai calculé toute les aires avec la formule : r² * pi / 2
AM = x² * pi /2
MB = (36 - x² ) pi / 2
AB = 18 pi
Aire totale = AM +MB -AB
= O
ESt se que c'st normal ?
Car je n'arrive pas trouver l'expression qu'ils me donnent ? merci de m'aider rapidement svp

Voici un tableau complémentaire faisant apparaître l'aire de l'arbelos.

[invite1a13e88d]

je comprend rien , aucun de mes résultat d'aire coincide !!

[Eurole]

J'ai calculé toute les aires avec la formule : r² * pi / 2
AM = x² * pi /2
MB = (36 - x² ) pi / 2
AB = 18 pi
Aire totale = AM +MB -AB = O
ESt se que c'st normal ?
Car je n'arrive pas trouver l'expression qu'ils me donnent ? merci de m'aider rapidement svp

MB = (36 - x² ) pi / 2
(Ce n'est pas MB, mais l'aire du demi-cercle de diamètre MB)
Attention au danger de tels faux "raccourcis".

(6-x)² ça fait combien ?

L'arbelos c'est quoi ?

[invite1a13e88d]

C'est tout faux ou quoi ??
(6-x) ² = 36 - x²

L'arbelos c'est les 3 demi cercle

[Eurole]

L'arbelos c'est les 3 demi cercle

C'est l'espace entre les trois demi-cercle.
En grec arbelos veut dire couteau de cordonnier.

C'est tout faux ou quoi ??
(6-x) ² = 36 - x²

(A - B)² = A² + B² - 2AB
si je me souviens bien.

[invite1a13e88d]

sa ne m'aide pas j'arrive toujours pas a trouver l'aire totale qu'il me propose :$

[Duke Alchemist]

Re-

C'est la panique ou c'est vraiment la galère ?!?

J'en profite pour apporter une petite correction en gras ci-dessous (qui ne change en rien le résultat mais bon) :
A₁ = (x/2)²*pi/2 = pi*x²/8
A₂ = 36pi/8
A₃ = ((6-x)/2)²*pi/2 = pi*(6-x)²/8

L'aire de l'arbelos vaut l'aire du grand demi-disque auquel on retranche les aires des deux petits demi-disques, non ?
Essaye de l'exprimer en fonction de A₁, A₂ et A₃ ci-dessus.

Et non ! (6-x)² ne fait pas 36 - x² mais 36 + x² - 12x.
Cela te permettra peut-être d'y voir plus clair...

Duke.

[invite1a13e88d]

C'est bon je crois que j'ai trouvé :

Aire d'un demi disque de diamètre D est egale à :
1/2 pi *( D/2 )²

donc
A(x) = 1/2 pi * (6/2) ² - 1/2 pi * (x/2 ) ² - 1/2 pi * (6-x / 2 )²
= pi / 4 ( 6x- x² )

Est ce que c'est cela svp ??

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Est-ce que cela correspond à ce qui est donné dans l'énoncé ?
Si oui, il y a de grandes chances pour que ce soit terminé... enfin

Duke.

[Eurole]

C'est bon je crois que j'ai trouvé :
Aire d'un demi disque de diamètre D est egale à :
1/2 pi *( D/2 )²
donc
A(x) = 1/2 pi * (6/2) ² - 1/2 pi * (x/2 ) ² - 1/2 pi * (6-x / 2 )²
= pi / 4 ( 6x- x² )
Est ce que c'est cela svp ??

Bonsoir.
C'est juste (le tableau confirme), mais sans démonstration.
Une démonstration figure dans Wikipedia, rubrique Arbelos.

Bonne nouvelle année à Tous.