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Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace



  1. #1
    alex-de-cdk

    Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace


    ------

    Bonjour , j'aurai besoin d'aide pour cette exercice :

    Voici l'énoncé de l'exercice :

    L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; i; j; k) et on considère les points A(3; 0; 0), B(0; 3; 0) et C(0; 0; 3).
    1) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
    b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
    c) Calculer la distance du point O au plan (ABC).
    d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.
    e) En déduire l'aire du triangle ABC.

    2) Soit G le point de coordonnées (1; 1; 1).
    a) Montrer que G appartient au plan (ABC).
    b) Montrer que G est le centre de gravité du triangle (ABC).
    c) Montrer que G est la projection orthogonal de O sur le plan (ABC).

    3) Soit D (-1; -1; -1) le symétrique de G par rapport à O.
    a) Montrer que ABCD est un tétraèdre régulier.
    b) Montrer que G est la projection orthogonale de D sur le plan (ABC).
    c) Calculer la distance DG et en déduire le volume du tétraèdre régulier ABCD.

    4) Soit Ω le milieu de [OG].
    a) Déterminer les coordonnées de Ω .
    b) Soit I le milieu de [AB] et J celui de [CD]. Montrer que Ω est le milieu de [IJ].
    c) Montrer que Ω est équidistant des quatres sommets du tétraèdre ABCD. Il est donc le centre de la sphère circonscrite du tétraèdre régulier ABCD.
    d) Donner le rayon de cette sphère et son équation.
    e) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD). Montrer que Ω est équidistant des plans (ABC) et (BCD).
    On admettra que Ω est équidistant des quatres faces du tétraèdre ABCD et qu'il est donc le centre d'une sphère inscrite à l'intérieur de ce tétraèdre.
    f) Déterminer, à 0,1 degré près, la mesure de l'angle géométrique AΩ B.




    Alors Pour la partie 1)

    a) On sait qu'un triangle équilatéral a les 3 côtés de même longueur donc AB=AC=BC

    Donc
    AB = V(3²+3²+0²)
    AB = V18

    AC= V18

    Es ce bon ? Car me semble logique de trouver cela , mais je ne sais pas vraiment quel formule mettre pour prouver cela .

    Car j'ai la formule des coordonnées
    vecteur U . Vecteur V = xx' + yy'+zz' et ||Vect u || = Vx²+y²+z²

    Qui est celle que je pense la bonne

    b) On chercher un vecteur n ( a , b , c ) non nul ; normal au plan (ABC)

    Vect N.Vect AB = -3a + 3b = 0 et Vect n. vect AC = -3a + 3c = 0

    Si on choisit c = 1 on obtient a = 1 et b = 1 donc vect n ( 1 ; 1 ; 1 )

    Si on prend un pt M ( x ; y ; z ) appartenant à ABC , Vect AM.Vect N = 0

    1 ( x -3 ) + 1 ( y+1 ) + 1 ( z+4 ) = 0

    Donc j'obtiens en équation : x + y +z - 6 = 0

    Et un ami lui a trouvé x + y + z - 3 = 0 , une erreur de ma part quelque part ?


    c )
    Distance Du point O au plan (ABC)
    On sait que O fait parti du repère orthonormal , donc on sait que la distance sera de V3 , mais comment le prouver par une formule ?

    d ) On sait que le triangle OAB et rectangle en O
    Car VOA . V OB = 0 donc rectangle en O

    Aire(OAB) = (OA x OB) / 2

    OA = OB = OC = V9 = 3

    Volume :
    (1/3)(surface de OAB)*OC ( comment l'expliquer , un ami me l'a donné , ça parait simple mais pourquoi cette formule ? )

    1/3 x 9/2 x 3 = 9/2

    e) V=(1/3)(surface de ABC)*d(O;(ABC))
    V = 1/3 * ( 9/2 ) * V3
    V= 9V3 / 2

    Pour le moment es ce bon ?


    Merci

    -----

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  3. #2
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Pour le 2)

    A) G appartient au plan (ABC) puisque ses coordonnées vérifient l'équation du plan (ABC).
    Es ce suffisant ou faut je le montre ?

    b) je ne sais pas comment faire ?

    c ) Je dois montrer que le vecteur OG est orthogonal au vecteur AB et BC ?

  4. #3
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Personne pour m'aider ou vérifier mes calculs ?

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Pas sorcier de voir que les points A, B, C n'appartiennent pas au plan x+y+z=6.
    Ensuite pour G, tu n'as pas tout oublié sur les barycentres, j'espère ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Donc je sais que c'est -3 , mais dans mes calculs , je ne trouve pas mon erreur ...

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Je ne vois pas où tu vas chercher tes coordonnées du vecteur AM. Sûr que papa Chasles ne serait pas d'accord.

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  10. #7
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Je suis parti d'un exemple , pris dans mon livre et j'ai suivi la même méthode .

    Si on prend un pt M ( x ; y ; z ) appartenant à ABC , Vect AM.Vect N = 0

    1 ( x -3 ) + 1 ( y+1 ) + 1 ( z+4 ) = 0


    Le (x-3 ) ; (y+1 ) et (z+4) sont dans l'exemple du livre et je pensai qu'il ne changeait pas .

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Citation Envoyé par alex-de-cdk Voir le message
    Je suis parti d'un exemple , pris dans mon livre et j'ai suivi la même méthode .

    Si on prend un pt M ( x ; y ; z ) appartenant à ABC , Vect AM.Vect N = 0

    1 ( x -3 ) + 1 ( y+1 ) + 1 ( z+4 ) = 0


    Le (x-3 ) ; (y+1 ) et (z+4) sont dans l'exemple du livre et je pensai qu'il ne changeait pas .
    Dans ton livre,le point A doit avoir pour coordonnées [3 ; -1;-4], ce qui n'est pas le cas dans ton point A. Vérifie.

  12. #9
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Oui dans mon livre Le point A a pour coordonnée ( 3 ; -1 ; et 4 et non 4 )

    Donc si je recalcule en prenant A de mon énoncé

    1 ( x - 3 ) + 1 ( y+0 ) + 1(z+0) = 0

    Donc l'équation est x+y+z - 3 = 0

    là c'est correct ?

  13. #10
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Yeah ! C'est d'ailleurs facile à vérifier. Point de détail de compréhension : ce serait plutôt y-0 et z-0 à cause de Chasles. Bien entendu, ça ne change rien au résultat !
    De manière générale, le plan qui passe par A(a,0,0), B(0,b,0) et C (0,0,c) est x/a + y/b + z/c = 1
    Facile à vérifier : c'est l'équation d'un plan et on voit tout de suite que A, B et C y sont, donc c'est le bon.

  14. #11
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Merci ensuite le c ,
    ça me parait que la distance est V3 , mais je ne sais comment le prouver . Comment faire ?

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Tu devrais jeter un oeil à ton cours, tu verrais que si un plan a pour équation ax + by + cz - d=0, alors le point P, de coordonnées (u,v,w) est distant de au+bv+cw-d que divise la racine carrée de a²+b²+c²

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  17. #13
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Et vu qu'ils font tous 1 , ça nous fait donc une racine carré de 3 .

    Merci !

    Le d) est-il bon ?

    J'ai utilisé la formule dont je ne comprends pas tellement son sens , 1/3 ..

  18. #14
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Le d est bon, ça utilise le fait que le volume d'une pyramide est égal à la surface de la base que multiplie la hauteur et que divise 3.
    Par contre, la suite, ça ne va plus. Ca ne t'étonne pas de trouver 2 valeurs différentes pour le même volume quand on le calcule de 2 manières différentes ?
    D'où sors-tu l'aire du triangle ABC ? C'est faux. Justement, on te demande de la calculer à partir du volume par une formule que tu donnes, qui est juste mais que tu exploites mal.

  19. #15
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Après un nouveau calcul , je trouve


    Aire(ABC) = 27 / (2V3)

    Je passe par je ne sais combien de calcul , et j'obtiens cela , es ce bon ?

  20. #16
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Oui, c'est juste mais il n'y a pas à écrire des tas de calculs :
    V = 1/3 S h et comme V=9/2 et h = racine(3), on trouve tout de suite S = racine(3) .9/2
    C'est l'aire d'un triangle équilatéral ABC de côté 3 racine(2)

  21. #17
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Oui et pour le 2 tu peux m'éclairer ?

  22. #18
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Comment calcule-t-on le barycentre de 3 points ? Tu as dû faire ça en cours, peut-être une autre année, mais ça reste valable.
    Si G est le barycentre de A, B, C, il est forcément dans le plan mais tu peux le vérifier à partir de l'équation du plan.

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  24. #19
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Si on met GA GB ET GC en vecteur :

    VGA (2 ; -1 ; - 1 )
    VGB ( -1 ; 2 - 1 )
    VGC ( -1 ; -1 ; 2 )

    Donc on peut en déduire que G est le centre de gravité du triangle (ABC).

    es ce correct ?

  25. #20
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    C'est correct mais pas justifié. Quelle relation utilises-tu ?

  26. #21
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Bha C'est pas le fait que si on fait
    VGA + VGB + VGC = 0 ??

  27. #22
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Ben oui, mais faut le dire !

  28. #23
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Pour le 2)c) , comment faire ?

  29. #24
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Tu connais l'équation du plan ABC, donc ça te donne le vecteur normal (vois ton cours à ce sujet). il suffit de vérifier que OG est parallèle à ce vecteur normal.

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  31. #25
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    x+y+z - 3 = 0

    Donc le vecteur normal au plan est ( 1 ; 1 ;1 ) c'est cela ?


    Or G ( 1 ; 1 ; 1 )

    Et le vecteur OG ??

  32. #26
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Le vecteur OG a pour composantes les coordonnées de G, puisque O est l'origine !

  33. #27
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Donc VOG (1 , 1 , 1 )


    Donc le Point G est la projection orthogonal de O sur le plan ABC .

    Es ce correct ?

  34. #28
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    C'est correct,mais à cette cadence, on va fêter le réveillon de 2012 avant que ce soit fini.

  35. #29
    alex-de-cdk

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Oui , là j'avoue qu'on est parti pour !

    Donc pour la 3a)
    Je calcule quoi ? Les distances de DA DB DC , et vu qu'elles seront égale , j'aurai un tétraède régulier ?


    b) étant donné que D(-1 , -1 , -1 ) , g ( 1 ; 1 ; 1 ) , D,O et G sont alignés et donc G est le projeté orthogonal de D sur le plan ABC

    c) Comment faire ?

    Volume (ABCD) = 1/3 x [27 / (2V3)] x [2V3] = 9

  36. #30
    Jeanpaul

    Re : Exercice dans un repère orthonormal dans l'espace

    Oui, tu peux aussi faire remarquer que le tétraèdre ABCD a même base que le tétraèdre OABC mais une hauteur double, donc un volume double.

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