Bonjour , j'aurai besoin d'aide pour cette exercice :
Voici l'énoncé de l'exercice :
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; i; j; k) et on considère les points A(3; 0; 0), B(0; 3; 0) et C(0; 0; 3).
1) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
c) Calculer la distance du point O au plan (ABC).
d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.
e) En déduire l'aire du triangle ABC.
2) Soit G le point de coordonnées (1; 1; 1).
a) Montrer que G appartient au plan (ABC).
b) Montrer que G est le centre de gravité du triangle (ABC).
c) Montrer que G est la projection orthogonal de O sur le plan (ABC).
3) Soit D (-1; -1; -1) le symétrique de G par rapport à O.
a) Montrer que ABCD est un tétraèdre régulier.
b) Montrer que G est la projection orthogonale de D sur le plan (ABC).
c) Calculer la distance DG et en déduire le volume du tétraèdre régulier ABCD.
4) Soit Ω le milieu de [OG].
a) Déterminer les coordonnées de Ω .
b) Soit I le milieu de [AB] et J celui de [CD]. Montrer que Ω est le milieu de [IJ].
c) Montrer que Ω est équidistant des quatres sommets du tétraèdre ABCD. Il est donc le centre de la sphère circonscrite du tétraèdre régulier ABCD.
d) Donner le rayon de cette sphère et son équation.
e) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD). Montrer que Ω est équidistant des plans (ABC) et (BCD).
On admettra que Ω est équidistant des quatres faces du tétraèdre ABCD et qu'il est donc le centre d'une sphère inscrite à l'intérieur de ce tétraèdre.
f) Déterminer, à 0,1 degré près, la mesure de l'angle géométrique AΩ B.
Alors Pour la partie 1)
a) On sait qu'un triangle équilatéral a les 3 côtés de même longueur donc AB=AC=BC
Donc
AB = V(3²+3²+0²)
AB = V18
AC= V18
Es ce bon ? Car me semble logique de trouver cela , mais je ne sais pas vraiment quel formule mettre pour prouver cela .
Car j'ai la formule des coordonnées
vecteur U . Vecteur V = xx' + yy'+zz' et ||Vect u || = Vx²+y²+z²
Qui est celle que je pense la bonne
b) On chercher un vecteur n ( a , b , c ) non nul ; normal au plan (ABC)
Vect N.Vect AB = -3a + 3b = 0 et Vect n. vect AC = -3a + 3c = 0
Si on choisit c = 1 on obtient a = 1 et b = 1 donc vect n ( 1 ; 1 ; 1 )
Si on prend un pt M ( x ; y ; z ) appartenant à ABC , Vect AM.Vect N = 0
1 ( x -3 ) + 1 ( y+1 ) + 1 ( z+4 ) = 0
Donc j'obtiens en équation : x + y +z - 6 = 0
Et un ami lui a trouvé x + y + z - 3 = 0 , une erreur de ma part quelque part ?
c )
Distance Du point O au plan (ABC)
On sait que O fait parti du repère orthonormal , donc on sait que la distance sera de V3 , mais comment le prouver par une formule ?
d ) On sait que le triangle OAB et rectangle en O
Car VOA . V OB = 0 donc rectangle en O
Aire(OAB) = (OA x OB) / 2
OA = OB = OC = V9 = 3
Volume :
(1/3)(surface de OAB)*OC ( comment l'expliquer , un ami me l'a donné , ça parait simple mais pourquoi cette formule ? )
1/3 x 9/2 x 3 = 9/2
e) V=(1/3)(surface de ABC)*d(O;(ABC))
V = 1/3 * ( 9/2 ) * V3
V= 9V3 / 2
Pour le moment es ce bon ?
Merci
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Envoyé par alex-de-cdk 