DM : Coordonnées polaire & Carthésiennes

[invite3bc87742]

Bonsoir, voilà j'ai un dm à faire j'aurai besoin de votre aide

Un point M décrit le demi-cercle de diamètre [AA']. Soit H la projection orthogonale de M sur [AA'].
On construit le point N du segment [OM] tel que ON=MH.
Le but du problème est de déterminer de deux façons le lieu décrit par le point N.
On supposera que OA= 1.
1° On considère le repère orthonormal direct (O;i ;j ), avec vec(OA)= et vec(OB)= et on pose :
vec(i ; OM) = Θ
a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de M dans (O,; ), des coordonnées polaires de N dans (O et préciser l'intervalle que décrit quand M décrit r
b) Démontrer que vec(ON)=1/2 [sin2 + (1-cos2)]
c)On désigne par K le milieu de [OB].
Exprimer vec(KN) en fonction de et et en déduire que : KN=0.5.
Que peut-on en déduire pour le point N ?
d)Démontrer que les coordonnées polaires de N dans le repère (K sont (0.5;2).
e)Conclure sur le lieu des points N lorsque M décrit le demi-cercle AA'.

Pour la a)
M a pour coordonnées (cos Θ ; sin Θ)
N a pour coordonnées (sin Θ ; Θ) cependant je doute, car x = r pour les coordonnées polaires, or ça ne devrait pas être OM ? ou encore sin 2Θ ?
Pour la b) il faut utiliser une formule de duplication mais le = devant le vec(ON) me gêne, je ne sais pas comment m'y prendre.

Si quelqu'un pouvait bien m'aider, merci d'avance
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[invite3bc87742]

J'ai un peu bossé dans mon coin depuis et donc j'ai trouvé des résultats mais j'ai également quelques questions.
A t-on besoin d'expliquer pourquoi ON = sinΘ ? Si oui comment car je ne vois pas du tout.
Avec les formules de duplication j'ai trouvé :
xN = rcosΘ = sinΘ.cosΘ = sin2Θ / 2
yN = rsinΘ = sinΘ.sinΘ = sin²Θ
Et d'après la formule cos 2Θ = 1 - 2sin²Θ on peut donc faire :
cos²Θ = 1 - sin²Θ donc sinΘ = 1 - cos²Θ
Mais je me demande si ce sont bien les coordonnées de N qu'il faut trouver..ai je bon ?

[invitea3eb043e]

Franchement, tu devrais te relire et dire ce qu'est le point O. Le milieu de a A' ?

[invite3bc87742]

Oui en fait ça revenait au même, vu que les coordonnées du point O sont (0;0), il fallait donc que je cherche les coordonnées du vecteur ON merci.
Pour la question c), faut-il que je cherche les coordonnées de K ? Pour ensuite trouver les coordonnées de KN et enfin calculer sa norme, mais cela me donne un résultat assez perturbant
K a pour coordonnées cartésiennes (0; 0,5)
N a pour coordonnées cartésiennes ( sinθ .cosθ ; sin²θ )
KN a pour coordonnées (sinθ.cosθ ; 0,5 - sin²θ)

Je ne peux pas calculer la norme avec ça =/ de l'aide s'il vous plait

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

OK pour les coordonnées de N mais comme tu ne dis pas ce qu'est le point B, j'ai du mal à continuer.

[invite3bc87742]

Comment ça ? Je n'ai pas vraiment compris

[invitea3eb043e]

Je ne comprends pas cette phrase :
On considère le repère orthonormal direct (O;i ;j ), avec vec(OA)= et vec(OB)= et on pose :
vec(i ; OM) = Θ

[invite3bc87742]

avec vec(OA)= i et vec(OB)= j
désolé ><
Je me suis relu et : yN = rsinΘ = sinΘ.sinΘ = sin²Θ
Et d'après la formule cos 2Θ = 1 - 2sin²Θ on peut donc faire :
cos²Θ = 1 - sin²Θ donc sinΘ = 1 - cos²Θ
Est ce faux ?

[invitea3eb043e]

La valeur de yN est OK mais là, ça commence bien et ça finit bizarrement :
Et d'après la formule cos 2Θ = 1 - 2sin²Θ on peut donc faire :
cos²Θ = 1 - sin²Θ donc sinΘ = 1 - cos²Θ

Ecris que cos 2@ = 1 - 2 sin²(@) et ça déroule, mais là tu confonds bizarrement cos(2@) et cos²(@)