devoir maison 1ère S

[invite0b7de254]

J'ai un devoir maison à rendre très bientôt et j'ai quelques petits soucis.
Je vous donne l'intitulé et mes recherches :

f est la fonction définie sur :
]-infini ; 0[ U ]0 ; +infini[ par f(x) = x - 1/x + 1/x²

C est sa courbe représentative dans un repère (O;i;j)

1) Étudiez les variations de f et dressez le tableau de variations.
2) a. Démontrez que la droite d'équation y=x est asymptote à C. La courbe C admet-elle une autre asymptote ?
b. Étudiez les positions relatives de C et d.



Voilà mes recherches pour le 1) mais je suis bloqué et il doit y avoir une erreur quelque part que je n'arrive pas à trouver :

J'ai calculé la dérivée = (x^3 + x - 2)/x^3
Puis j'ai fais la méthode de recherche des coefficients :
1 est une racine évidente
(x-1)(ax²+bx+c) = ax^3 + bx² + cx - ax² -bx -x
= ax^3 + (b-a)x² + (c-b)x + c = x^3 + x - 2

Et c'est la que ça bloque, ça fait : a=1 b-a=0 c-b=1 et c=-2
Et ça c'est pas possible de trouver b.

Si vous avez trouvé mon erreur ou que vous avez une autre méthode, ça serait super de m'aider.

Sinon j'ai essayé la suite mais en vain.

Merci pour toute aide.
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[invite0bd86ecf]

Bonjour,

Attention erreur de calcul :
(x-1)(ax²+bx+c) = ax^3 + bx² + cx - ax² -bx -c
= ax^3 + (b-a)x² + (c-b)x - c = x^3 + x - 2

Je vous laisse continuer

[invite0b7de254]

Merci beaucoup =) j'ai trouvé a,b et c et vais pouvoir faire delta + les racines et continuer.
Sinon pour la suite, je trouve toujours pas.
Merci pour votre aide.

[invite0bd86ecf]

Bonjour,

Pour la question 2a):
Je te conseille de tracer la fonction sur ta calculatrice pour voir la tête qu'elle a.
Pour voir si x est asymptote, il faut regarder la limite :
.
Si cette limite tend vers 0, alors c'est que x est asymptote "oblique" pour la fonction f.

Pour l'autre asymptote, je te conseille également d'étudier la limite :
.
Regarde sur ta calculatrice quelle valeur tu pourrais donner à a.
Si cette limite tend vers + ou - l'infini, c'est que f admet une asymptote "verticale" en a.

Pour la question b.,
d est-elle la courbe de l'asymptote y=x ?
Si oui, il faut étudier la fonction f(x)-x pour cette question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0b7de254]

Merci "minou" pour l'aide j'ai réussi à finir seulement, je n'ai toujours pas fini le 1.
J'ai réussi à trouver a,b,c et ça fait :

(x-1)(ax²+bx+c) avec a=1, b=1 et c=2
Donc j'étudie le polynôme du second degré : x² + x + 2 et quand je fais delta je n'ai pas de racines donc le polynôme est du signe de a pour tout x et donc il est positif pour tout x.
Or c'est la que ça pose problème. Aussi, j'ai mon f'(x) qui vaut
(x^3+x-2)/x^3 donc le polynôme est aussi du signe du dénominateur.

Ça me fait un tableau de signe à 4 entrées : x-1, x²+x+2, x^3 et f'(x) avec comme valeur de x : -infini 0 1 +infini
Et donc j'ai négatif de -infini à 0 (zéro valeur interdite), négatif de 0 à 1 et de 1 à +infini j'ai positif. Or sur la calculatrice c'est positif puis négatif puis positif.
Où est-ce que j'ai faux ? Ai-je faux depuis le début ?
Aidez-moi une dernière fois svp.