Exercice TS : produits scalaires

[inviteab0994ec]

Bonjour à tous !

Je me tourne vers vous puisque je bloque un peu sur la dernière question d'un exercice de Mathématiques. L'énoncé est le suivant :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 2 ; BC = GC = 1. Soit I le milieu de [AB].

1) On considère le repère orthonormal (A ; (vecteur)AI, (vecteur)AD, (vecteur)AE).
Déterminer une équation du plan (IFH) dans ce repère.

2) Calculer la distance du point G au plan (IFH).

3) Calculer la distance du point G à la droite (IH) (On pourra appeler G₂ le projeté orthogonal de G sur la droite (IH) et chercher le réel tel que : (vecteur)IG₂ = λ (vecteur)IH ).


Je suis venu à bout des questions 1 et 2. Malheureusement, les résultats que je trouve à la question 3 me semblent faux, et je suis incapable de trouver où j'ai fait une erreur. Voici ce que j'ai répondu :

On sait que G₂ est sur la droite (IH), donc on a : (vecteur)IG₂ = λ (vecteur)IH.
Connaissant les coordonnées du vecteur (vecteur)IH (-1 ; 1 ; 1), on a donc : (vecteur)IG₂ (-λ ; λ ; λ).

Connaissant les coordonnées du point I(1 ; 0 ; 0), du point G(2 ; 1 ; 1) et celle du vecteur (vecteur)IG₂, on peut déduire les coordonnées du point G₂(-λ + 1 ; λ ; λ) et du vecteur (vecteur)GG₂(-λ - 2 ; λ - 1 ; λ - 1).

G₂ étant le projeté orthogonal de G sur (IH), alors le vecteur (vecteur)GG₂ doit être orthogonal au vecteur (vecteur)IH. Ainsi, on a : (vecteur)GG₂ . (vecteur)IH = 0.

(vecteur)GG₂ . (vecteur)IH = (-λ - 2)(-1) + (λ - 1) x 1 + (λ - 1) x 1 = λ + 2 + λ - 1 + λ - 1 = 3λ = 0 ;

Et c'est là que je pense m'être trompé, puisque j'obtiens :
On a donc : λ = 0. On en déduit alors les coordonnées du point G₂(0 ; 0 ; 0). On remarque que le point G₂ est confondu avec le point A, et donc origine du repère.

En poursuivant ensuite les calculs, j'obtiens finalement √6 comme valeur de la distance GG₂.


Donc j'aurais besoin que quelqu'un vérifie ces résultats et m'aiguille sur la bonne voie si je me suis trompé quelque part. Merci d'avance !
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[NicoEnac]

Bonjour,

Les coordonnées de sont incorrectes.

Peux-tu écrire les réponses que tu trouves pour la 1 et la 2 que je les vérifie (même si je te fais confiance).

[inviteab0994ec]

Oui bien sûr, j'ai justement hésité à les mettre.

1) J'ai déterminer les coordonnées de I(1 ; 0 ; 0), F(2 ; 0 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1). De là, j'ai pu déterminer l'équation du plan (IFH) :
x + 2y – z – 1 = 0.

2) On calcule la distance δ du point G(2 ; 1 ; 1) au plan (IFH) d'équation x + 2y – z – 1 = 0. On a :

δ = |2 + 2 – 1 – 1| / √(12 + 22 + (-1)2) = 2 / √6 = 2√6 / 6 = √6 / 3.

La distance du point G au plan (IFH) est √6 / 3.


Voilà. Merci de vous pencher sur mon cas, j'attends votre réponse.

[NicoEnac]

OK pour la 1 et la 2.

Pour la 3, tu t'es trompé dans les coordonnées de en fonction de lambda

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab0994ec]

Oui, j'ai fini par parvenir à me corriger seul entre temps. Je faisais continuellement les mêmes erreurs stupides

En tout cas, merci de m'avoir accordé de ton temps.