Methode : factorisation de polynome

[invite340b7108]

Bonjour,

Dans les corrigés des exercices, on balance souvent la réponse sans détailler, et comme ça n'est pas dans mon cours, je ne comprends pas quelle est la méthode pour factoriser un polynome quand on ne connait pas de racine triviale. Par exemple, comment factoriser la polynome dans R[x], dans F₂[x]... ?

Merci d'avance !
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[invite340b7108]

Mince, jviens de ma rendre compte que je ne suis pas dans le bon forum. Quelqu'un peut le déplacer dans le forum mathematique du superieur ??

[Seirios]

De manière générale, il n'y a pas de méthode systématique. Mais dans , on a l'avantage de connaître les polynômes irréductibles : les polynômes de degré inférieur à 1 et les trinômes sans racines réelles ; donc il est facile de voir si un polynôme est irréductible ou non, mais pour le factoriser, il faut généralement déterminer ses racines (éventuellement dans ). Dans , on a l'avantage que tout polynôme est scindé. Dans , il faut essayer de faire jouer les congruences pour simplifier au maximum le problème.

C'est plutôt du cas par cas.

[invitea3eb043e]

Pour factoriser, il faut effectivement connaître les racines, réelles ou complexes.
Ici, il s'agit des racines 4èmes de -1, qui sont complexes. Comme-1 a pour module 1 et pour argument pi, les racines 4èmes ont pour module 1 et pour arguments phi = pi/4 + 2 k pi/4
Donc on va pouvoir factoriser sous forme d'un produit de 4 termes du genre [x - exp(i phi)].
Mais il sera astucieux de les regrouper 2 à 2 par phi conjugués, du genre k = 1 et k=2. Alors, le produit donnera un polynôme de degré 2 à coefficients réels. Essaie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Ce que dit Jeanpaul se généralise d'ailleurs : si tu as un polynôme , et si z est une racine de P, alors son conjugué est également une racine de P. Donc on peut toujours factoriser P ainsi : on cherche les racines complexes de P, on écrit P comme polynôme complexe scindé, puis on réunit les facteurs dont les racines sont conjuguées.