Bonjour,
Il se trouve que j'ai un DM à faire pour lundi, mais je suis en difficulté.
La suite (Un) définie sur N par :
U0=4
U(n+1)=1/2(Un+9/Un)
Pour montrer par récurrence que la suite Un est minoré par 3 et le sens de variation aucun problème, la suite est décroissante.
Mais mon problème se pose pour cette question:
Montrer par récurrence que Un-3est plus petit ou égal à 1/2^n
Je vous remerci d'avance et j'espère que vous pourrai m'éclaircir sur la question.
S'il vous plait, je suis vraiment embêté, aidez moi !!
Pars de l'hypothèse un-3 <=, et utlise le fait que un>= 3 ce qui implique
Peut tu simplifié ton explication afin de la rendre plus synthétique;
Si je comprend il faut que je parte de çà 9/Un< 3 pour montrer que
Un+1-3 < 1/(2n+1
Comment as-tu fait pour montrer la minoration par 3 ?
C'est bon j'ai réussi à trouver la solution, je te remerci de ton aide !!
Pour montrer qu'elle est minorée par 3
considère la fonction f(x)=(1/2)(x+9/x)
f'(x)=(1/2)(1-9/x²)=(1/2)(x²-9)/x²=(x-3)(x+3)/2x²
donc f'(3)=0 et f'(-3)=0
f est strictement croissant sur ]-oo;-3[U]3;+oo[
f est strictement décroissante sur ]-3;3[
maintenant reviens à ta récurrence
tu as supposé que Un>3 comme f est strictement croissante sur ]3;+oo[ donc f(Un)>f(3)
f(3)=(1/2)(3+9/3)=6/2=3
f(Un)=U(n+1)
donc U(n+1)>3
Ainsi ta bien démontrer par récurrence que 3<Un pour tout n de N
Kem un merci ne serait pas de tout repos !
