Matrice Help

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Bonjour à vous tous,

J'ai un problème que je suis incapable de résoudre peut-être que vous allez réussir à m'aider.

Voici le problème

Trois comptoirs A,B,C se partagent le marché du dîner dans un cégep. D'un semestre à l'autre, chaque comptoire perd un peu de sa clientèle au profit de ses concurrents. Au dernier semestre, A a conservé 70% desa clientèle et en a perdu 30% au prodit de C
De même B n'a conservé que 20% de sa clientèle, en a perdu 20% au profit de A et 60% au profit de C Enfin C n'a concervé que 35% de sa clientèle, en a perdu 55% au profit de B et 10% au profit de [A
Les trois questions sont :

1. Construisez la matrice de transition P représentant la proportion de la clientèle qui passe d'un comptoire à l'autre
2. Actuellement A détient 40% de la clientèle, B 30% C 30%. Comment se comportera la clientèle au prochain semestre
3. Si la tendance se maintient en utilisant la méthode de Gauss, déterminez la part de client que chaque comptoir peut espérer conserver à long terme.


Je vous dis un gros merci à celui qui réussiera à m'expliquer quoi faire, car j'ai aucune idée ou partir. puis mon examen a lieu dans quelque jour et je suis incaâble de rejoindre mon prof.


Merci d'avance

Val
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[sylvainc2]

Pour 1, on doit mettre les pourcentages dans chaque colonne de P, avec A dans la colonne 1, B dans 2 et C dans 3 comme ceci:



Remarque que la somme de chaque colonne doit être 1.

Pour 2, il faut calculer Pv₀, où v₀ est:


Pour 3, il faut trouver un vecteur v=(x,y,z) tel que Pv = v, donc (P-I)v=0, avec la contrainte que x+y+z = 1 car ce sont des pourcentages. Ca donne la matrice augmentée suivante qu'on peut résoudre avec le pivot de Gauss:


La solution, si elle existe, va donner l'état stable à l'infini, qui est la tendance à long terme: x est le % des clients que A peut espérer conserver, y celui de B et z celui de C.