une limite tres comliquée

[invite79f94cd7]

salut tout le monde

je voudrais que vous m aidez a calculer cette limite

j'ai essayé de enlever la forme indeterminé mais je n'arrivais pas

lim sin(1/x)tan((2pix)/(4x+3)) quand x tnd vers +infinie

et merci d'avace
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[Jeanpaul]

Déjà poser 1/x = u comme ça tu peux utiliser les formules de ton cours.
Ensuite, au dénominateur, tu verras un 1/(4 + 3u) qu'il serait bon de développer en (1-3u/4)/4 parce que 1/(1+a) est équivalent à 1-a quand a tend vers zéro.

[deyni]

L'idée du 1/x=u est une excellente idée.

1/(1+a) est équivalent à 1-a quand a tend vers zéro.

J'ai l'impression de voir un développement limité. C'est hors programme.

[Jeanpaul]

Ben, comme le niveau n'était pas précisé, on ne sait pas très bien quels outils on peut employer...

[A voir en vidéo sur Futura]

[deyni]

Bonjour.

Je crois avoir trouvé:








Après, il un coup de théorème des gendarmes.

[invite79f94cd7]

Ben, comme le niveau n'était pas précisé, on ne sait pas très bien quels outils on peut employer...

je suis en 1ere année du bac

[invite79f94cd7]

Bonjour.

Je crois avoir trouvé:








Après, il un coup de théorème des gendarmes.

c'est

limit(sin(1/x) tan(2 pi x/(4 x+3)), x, +infinity)

et pas

[Jeanpaul]

La seule difficulté vient de ce qui est dans la tangente et ça vaut pi/2 .1/(1+3u/4)

L'idée est d'écrire ce truc sous la forme pi/2 + quelque chose donc enlever pi/2 à cette quantité. Ce quelque chose tend vers zéro et on peut dire que comme la tangente c'est sin/cos, on voit vers quoi ça tend.
C'est du louvoiement pour ne pas parler d'équivalents ni de développement limité, un peu comme allumer sa cigarette avec des silex.

[totoPa]

Tu pourrais détailler un peu plus la technique Jeanpaul ?

[Jeanpaul]

On prend le contenu de la tangente, soit pi/2 . 1/(1 + 3u/4) et on dit que c'est égal à pi/2 - 3pi/8.u/(1+3u/4)
On prend alors la tangente, sachant que tan(pi/2 - v) = 1/tan(v) = cos(v)/sin(v)
Ici, v vaut 3pi/8 . u/(1+3u/4)

L'idée est alors de s'intéresser à sin(v) parce que v tend vers zéro. Le cos(v) tend vers 1 et est sans histoire.

L'idée est alors de multiplier en haut par v et en bas par 3pi/8.y/(1+3u/4) puisque c'est la même chose.
On voit alors que u se simplifie et que sin(v)/v tend vers 1.
Là, on peut conclure.
Tout ce cirque juste pour simplifier par u.

[totoPa]

Ah ouai ... pas mal du tout. Je sais pas comment tu as fait pour voir qu'il fallait passer par là mais chapeau. Tout ce qui est trigo c'est vraiment casse tête.

[Jeanpaul]

Rien de transcendant, c'est une paraphrase des développements limités, tu verras ça en son temps.