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Equation différentielle



  1. #1
    Elwyr

    Equation différentielle


    ------

    Bonjour,

    On me pose :
    une équation différentielle (E) : y' - 3y = -3e / (1 + e^-3x)
    une fonction f définie sur R par f(x) = e^-3x * g(x), avec g dérivable sur R.

    D'abord, ils me demandent de dériver f et d'exprimer g' - 3g en fonction de f '. Ni une ni deux, me voilà avec
    f '(x) = e^-3x(g'(x) - 3g(x)) (sur R)
    d'où g' - 3g = f ' / e^-3x (sur R)

    Ensuite, ils me demandent de trouver f telle que g soit solution et (E) et g(0) = e / 2, et je sèche.

    J'ai essayé de remplacer g' - 3g par son expression (puisque g est solution) et je me retrouve avec f '(x) = -3e^(1-3x)/(1+e^-3x).
    Je ne sais pas encore intégrer (et en théorie, je devrais pas avoir à le faire, l'exercice est avant le chapitre d'intégration dans le bouquin), donc je me dis qu'il doit y avoir une autre solution. En substituant g à son expression en fonction de f ' dans l'expression de f, j'ai pu obtenir 3f(x) + f '(x) = e^-3x * g'(x), mais je ne sais pas vraiment quoi en faire, d'autant plus que si je remplace g' par son expression en fonction de f ' et g, je commence à tourner en rond.

    Voilà, je suis à la recherche d'une piste. Merci d'avance !

    -----

  2. #2
    Plume d'Oeuf

    Re : Equation différentielle

    Bonjour,

    Pourtant pour moi cela ressemble bien à un exercice d'intégration. Je te propose une autre écriture de f'.

    D'un côté tu as:


    Et de l'autre tu veux que g soit solution de (E). Comme tu le dis si bien on remplace y par g dans (E), ce qui donne:


    Maintenant sans intégrer il me paraît difficile de résoudre ce problème. D'autant plus que la donnée g(0) est là pour déterminer la constante d'intégation (et qu'on dit indifféremment "résoudre" ou "intégrer" une équation différentielle, ce qui signifie bien que les notions d'équa diff et d'intégration sont liées).

  3. #3
    Elwyr

    Re : Equation différentielle

    Erf ><

    Eh bien, merci beaucoup alors !

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