Fonction Ln

[invite269c7502]

Bonjour à tous !
J'ai un DM de maths à faire, en voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur [0;+oo[ par: f(x)= x² ( ln (x) - 1 ) ; si x différent de zéro et f(0)=0.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j) du plan (unité graphique: 2cm).

1) Démontrer que f est dérivable en 0 et déterminer f'(0). Que peut-on dire pour Cf?
2) Etudier la limite de f en +oo.
3) a) Justifier que f est dérivable sur ]0;+oo[ et déterminer la dérivée f' de f sur ]0;+oo[.
b) Etudier les variations de f sur [0;+oo[.
4) Dresser le tableau de variation de f sur [0;+oo[.
5) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses.
6) Déterminer l'équation réduite y=t(x) de la tangente de Cf au point d'abscisse 1/racine(e)
7) L'objet de cette question est l'étude de la position relative de Cf et T. Pour cela, on considère la fonction g définie sur ]0;+oo[ par: g(x)= f(x) - t(x).
a) Justifier que g est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g'(x) pour tout x appartenant à ]0;+oo[.
b) Justifier que g' est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer g''(x) pour tout x appartenant à ]0;+oo[.
c) Etudier les variations de g' sur ]0;+oo[, calculer g'(0)et en déduire le signe de g' sur ]0;+oo[.
d) Déduire de ce qui précède les variations de g sur ]0;+oo[ puis son signe
e) Conclure.
8) Tracer la courbe Cf et sa tangente T.

J'ai réussi jusqu'à la 6) mais j'ai du mal avec l'équation de la tangente..
Je trouve y= (-2e^(-1/2)) * (x-(1/racine(e)) - (3/2e)
Est-ce le bon résultats?
Merci beaucoup de votre aide !
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[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Pour moi c'est le bon résultat, mais que tu peux simplifier.

Bon courage.

[invite269c7502]

y = \frac{-2}{} * (x- \frac{1}{} ) - \frac{3}{2e}

C'est peut-être plus lisible comme ça

[Plume d'Oeuf]

Tu peux arriver à la forme:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite269c7502]

Ah oui effectivement !
Pour la question 7d), pour trouver le signe de g j'ai essayé de calculer sa limite en zéro qui est égale à la limite de t(x) puisque la limite de f(x) vaut 0 en 0.
Je trouve lim t(x) en 0 = 1/2e qui est positif donc g est positive sur son ensemble de déf (car j'ai prouvé avant qu'elle était croissante), est-ce la réponse que l'on attend?

[invite4aedf499]

Tu peux arriver à la forme:

Bonjour !
J'ai moi aussi cet exercice à faire en DM de maths. Je bloque sur la question 6. Je trouve une tangente t(x)=1/2e or ça ne correspond pas du tout à ton résultat. Est-ce que ma dérivée f'(x)=2xln(x)-x est incorrecte ? Ou dans le cas contraire est-ce que c'est possible que vous m'indiquiez le détail du calcul ?
Merci d'avance.

[Plume d'Oeuf]

Bonjour, bienvenue sur le forum.

Est-ce que ma dérivée f'(x)=2xln(x)-x est incorrecte ? Ou dans le cas contraire est-ce que c'est possible que vous m'indiquiez le détail du calcul ?

Donc soit ta dérivée est fausse, soit elle est bonne et je t'indique le détail des calculs?

Ta dérivée est correcte. Si tu ne retombes pas sur mon résultat directement, tu dois au moins retomber sur celui de Jamba95, dans son message#1:


Après ce n'est que du réarrangement.

Bon courage.