Ellipse tangente
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Ellipse tangente



  1. #1
    snakes1993

    Ellipse tangente


    ------

    Bonjour cher camarade

    j arrive pas a répondre à cette énoncer :

    Soit l Ellipse E= 25x²+16y²=100. Déterminer les équation des tangente a l ellipse parallèles a la droite d= 5x-4y=0

    Merci d avance

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Ellipse tangente

    Faut voir ton niveau.
    Une méthode simple utilise le fait que quand on a une courbe f(x,y) = 0, le vecteur gradient est normal à la courbe (en électrostatique, le champ est perpendiculaire aux équipotentielles).
    Le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de f(x,y) soit [50 x ; 32 y]
    Tu as vu en cours que la droite ax + b y + c=0 est normale au vecteur [a;b].
    Si la droite et l'ellipse ont la même direction, c'est que leurs vecteurs normaux sont parallèles.
    Tu conclus et tu finis.

    Autre méthode, plus astucieuse :
    Tu dis que l'équation de la tangente est 5 x - 4 y = a où a est inconnu.
    Tu cherches l'intersection de cette droite et de l'ellipse. Ca fait une équation du second degré en y quand tu as éliminé x.
    Tu écris alors que cette équation a une racine double, ce qui permet de calculer a ; il y a forcément 2 valeurs (2 tangentes).

  3. #3
    snakes1993

    Re : Ellipse tangente

    j'ai pas trop bien comprit l histoire du a, il représente quoi en faite

  4. #4
    Jeanpaul

    Re : Ellipse tangente

    Tu as dû voir en cours que toutes les droites qui s'écrivent
    y = 4/5 x + b
    sont toutes parallèles entre elles. b est alors l'ordonnée à l'origine, inconnue. Je mets b parce que ce n'est pas exactement le a du début (presque).
    Tu vas alors remplacer y par 4/5 x + b dans l'équation de l'ellipse, ça donnera une équation du second degré dont l'inconnue est x. Là, tu viens d'écrire l'équation qui donne les intersections entre l'ellipse et la droite y = 4/5 x + b (ça permet de calculer x et ensuite d'en déduire y). Il peut y avoir 2, 1 ou 0 intersections (une équation de degré 2 n'a pas toujours de solutions)
    Ici, on s'intéresse au cas spécial de la tangente, celui où l'équation du 2ème degré dont l'inconnue est x a une seule solution. Ca s'écrit comment, le cas où une équation de degré 2 n'a qu'une solution ?
    Cela fixe une condition un peu compliquée sur b mais on peut calculer les valeurs de b pour lesquelles cela se produit.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    snakes1993

    Re : Ellipse tangente

    ah okok merci

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