Ellipse tangente

[invited03209ae]

Bonjour cher camarade

j arrive pas a répondre à cette énoncer :

Soit l Ellipse E= 25x²+16y²=100. Déterminer les équation des tangente a l ellipse parallèles a la droite d= 5x-4y=0

Merci d avance
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[invitea3eb043e]

Faut voir ton niveau.
Une méthode simple utilise le fait que quand on a une courbe f(x,y) = 0, le vecteur gradient est normal à la courbe (en électrostatique, le champ est perpendiculaire aux équipotentielles).
Le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de f(x,y) soit [50 x ; 32 y]
Tu as vu en cours que la droite ax + b y + c=0 est normale au vecteur [a;b].
Si la droite et l'ellipse ont la même direction, c'est que leurs vecteurs normaux sont parallèles.
Tu conclus et tu finis.

Autre méthode, plus astucieuse :
Tu dis que l'équation de la tangente est 5 x - 4 y = a où a est inconnu.
Tu cherches l'intersection de cette droite et de l'ellipse. Ca fait une équation du second degré en y quand tu as éliminé x.
Tu écris alors que cette équation a une racine double, ce qui permet de calculer a ; il y a forcément 2 valeurs (2 tangentes).

[invited03209ae]

j'ai pas trop bien comprit l histoire du a, il représente quoi en faite

[invitea3eb043e]

Tu as dû voir en cours que toutes les droites qui s'écrivent
y = 4/5 x + b
sont toutes parallèles entre elles. b est alors l'ordonnée à l'origine, inconnue. Je mets b parce que ce n'est pas exactement le a du début (presque).
Tu vas alors remplacer y par 4/5 x + b dans l'équation de l'ellipse, ça donnera une équation du second degré dont l'inconnue est x. Là, tu viens d'écrire l'équation qui donne les intersections entre l'ellipse et la droite y = 4/5 x + b (ça permet de calculer x et ensuite d'en déduire y). Il peut y avoir 2, 1 ou 0 intersections (une équation de degré 2 n'a pas toujours de solutions)
Ici, on s'intéresse au cas spécial de la tangente, celui où l'équation du 2ème degré dont l'inconnue est x a une seule solution. Ca s'écrit comment, le cas où une équation de degré 2 n'a qu'une solution ?
Cela fixe une condition un peu compliquée sur b mais on peut calculer les valeurs de b pour lesquelles cela se produit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited03209ae]

ah okok merci