tangente à une ellipse

[invite0a63013b]

slt
SOS
je suis bloqué , aidez moi SVP
le voici mon probleme :
on considere l'ellipse d'equation : x²/a²+y²/b²=1
soit D la droite d'equation ux+vy+w=0
montrer que la droite D est tangente à l'ellipse SSI a²u²+b²v²=w²

et merci d'avence
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[invitead1578fb]

Bonjour,

on a donc l'ellipse (E) et la droite (D) d'équation

Soit alors

Remarque : pour x=a, alors y=0 d'après (E) et en remplaçant dans (D) il vient cette équation est utile ensuite

obtenue en élevant (D) au carré en passant ux de l'autre côté, il vient ensuite en remplaçant dans (E):



Et là c'est joli , (D) tangente à (E) <=> F=0 avec F le discriminant de l'équation précédente en y ( ie est unique)
donc

or d'après la remarque donc et en simplifiant il vient



<=> qui n'est autre que l'équivalence recherchée


hehe , bonne journée
Blable

[Médiat]

Bonjour,

on a donc l'ellipse (E) et la droite (D) d'équation

Soit alors

Remarque : pour x=a, alors y=0 d'après (E) et en remplaçant dans (D) il vient cette équation est utile ensuite

obtenue en élevant (D) au carré en passant ux de l'autre côté, il vient ensuite en remplaçant dans (E):



Et là c'est joli , (D) tangente à (E) <=> F=0 avec F le discriminant de l'équation précédente en y ( ie est unique)
donc

or d'après la remarque donc et en simplifiant il vient



<=> qui n'est autre que l'équivalence recherchée


hehe , bonne journée
Blable

Je ne vois pas ce qui justifie le choix d'une valeur particulière pour x, ni son intérêt, l'expression de F (je n'ai pas vérifié les calculs avant ce point) se simplifie très facilement sans utiliser pour donner la réponse attendue (avec une petite discussion pour le cas u = 0).

[invitead1578fb]

C'est vrai ...

[A voir en vidéo sur Futura]