limite de ln(x)-ln(x+1) !!!

[invite881f2306]

salut ....je besoin d'aiiiiiide :

comment calculer la limite de ln(x)-ln(x+1) quand x____>+infini

SVP aidez moi ... MERCI
-----

[Jon83]

bonjour!
quand x tend vers l'infini x+1 tend vers x, donc ln(x+1) tend vers ln(x) et la différence tend ln(x)-ln(x+1) tend vers 0-

[invite332de63a]

Réponse completement fausse de Jon83, tu affirmes que f(x)-f(x+1) tend vers 0... ce ci quelque soit f en gros... prend juste la fonction carré...

Plus rigoureusement, on considère la limite ln(x)-ln(x+1) quand x devient grand donc la limite de ln(x/(x+1)) comme ln est continue sur lR+*, alors si x/(x+1) en limite reste dans lR+* la limite est égal à la valeur de la fonction en la limite, soit lim ln(x/(x+1))=ln (lim (x/(x+1))) donc comme la limite de x/(x+1) vaut 1 alors la limite est ln(1)=0

RoBeRTo

[invite881f2306]

Merci ... ...

cordialement ......

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Réponse completement fausse de Jon83, tu affirmes que f(x)-f(x+1) tend vers 0... ce ci quelque soit f en gros... prend juste la fonction carré...

Plus rigoureusement, on considère la limite ln(x)-ln(x+1) quand x devient grand donc la limite de ln(x/(x+1)) comme ln est continue sur lR+*, alors si x/(x+1) en limite reste dans lR+* la limite est égal à la valeur de la fonction en la limite, soit lim ln(x/(x+1))=ln (lim (x/(x+1))) donc comme la limite de x/(x+1) vaut 1 alors la limite est ln(1)=0

RoBeRTo

Tu as raison! J'ai zappé que ln(x)-ln(x+1)=ln(x/(x+1))
Désolé...

[invite332de63a]

pas grave faut juste que tu fasse gaffe à ce genre de raisonnement trop rapide.

RoBeRTo

[invite881f2306]

Tu as raison! J'ai zappé que ln(x)-ln(x+1)=ln(x/(x+1))
Désolé...

c'est ca le problème .. moi aussi j'ai oublié que ln(x)-ln(x+1)=ln(x/(x+1))

[Jon83]

pas grave faut juste que tu fasse gaffe à ce genre de raisonnement trop rapide.

RoBeRTo

Cela dit, quand x tend vers l'infini x+1 tend vers x, et la fonction ln(x) étant strictement monotone et croissante, ne peut-on par dire que ln(x+1) tend vers ln(x) ? Je suis d'accord que ce n'est pas vrai pour toutes les fonctions f(x), mais ici avec ln ne peut-on pas l'affirmer?

[invite332de63a]

Ben en fait non il suffit de prendre une fonction qui croit plus vite que "0" au voisinage de l'infini, c'est a dire si elle est dérivable, a une dérivée qui ne s'annule pas au voisinage de l'infini, tout betement l'identité fait l'affaire, (x)-(x+1)=-1 ne s'annule pas, c'est parce que (ln)' -> 0 que ca marche.

[Jon83]

OK! Merci pour tes explications convaincantes...

[invite332de63a]

Par contre je ne dit pas que seules les fonctions dont la dérivées tend vers 0 vérifie cela, c'est un peu plus compliqué que cela. Il y a par exemple toutes les fonctions 1/n périodique (n un entier non nul), et pleins d'autres exemples.

RoBeRTo

[inviteaf48d29f]

Ça doit aussi être vérifié pour quelques fonctions qui ne sont pas dérivables, mais bon là on rentre dans de la fonction pathologique ^^.

Cela dit, quand x tend vers l'infini x+1 tend vers x, et la fonction ln(x) étant strictement monotone et croissante, ne peut-on par dire que ln(x+1) tend vers ln(x) ? Je suis d'accord que ce n'est pas vrai pour toutes les fonctions f(x), mais ici avec ln ne peut-on pas l'affirmer?

On peut l'affirmer dans ce cas là car on peut le démontrer par ailleurs. L'argument en lui même est faux, ce n'est pas pour ça que la limite tend vers 0.

En mathématique il n'y a pas d'argument qui soit valable "de temps en temps". Si un cas contredit l'argument alors l'argument est faux.

[invite332de63a]

L'argument en lui même est faux, ce n'est pas pour ça que la limite tend vers 0.

C'est à dire?

[inviteaf48d29f]

L'hypothèse est vraie, la conclusion est vraie, mais le lien de cause à effet n'existe pas.
Ainsi dire "l'hypothèse implique la conclusion" est faux. C'est ce que je veux dire par l'argument est faux.

P.S : Enfin l'hypothèse et la conclusion sont assez mal dites, donc pas complètement vraies non plus. Mais ce n'est pas ce dont je parlais.