limite de fonctions

invite565ae47e · 13/08/2011, 12h20

Bonjour, je dois calculer la limite en +oo de la fonction suivante $\text{[math]}$ mais le problème est que je n'arrive pas à lever l'indétermination, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci.

invite371ae0af · 13/08/2011, 12h58

je suppose que e c'est l'exponentielle et n est dans N
la limite au numérateur est 1 car par définition l'exponentielle l'emporte sur la puissance c'est-à-dire: nexp(-npi/2) équivalent à nexp(-n) et cela est une limite fondamentale qui tend vers 0
la limite au dénominateur est +inf
donc la limite de ta fonction est 0

invite565ae47e · 13/08/2011, 13h05

Ah merci, je comprends mieux ! et dans le cas où le 1 est remplacé par un n, comment je lève l'indétermination ? : $\text{[math]}$

invitec317278e · 13/08/2011, 13h15

nexp(-npi/2) équivalent à nexp(-n)

non, c'est faux

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite371ae0af · 13/08/2011, 13h15

si on remplace 1 par n tu as n²+n=n(n+1) et la limite tend vers + inf.
La règle c'est que lorsque tu as un polynôme, sa limite est la limite du terme de plus haut degré du polynôme

invite371ae0af · 13/08/2011, 13h19

pour ta fonction tu peux aussi considérer le cas n pair ou impair tu auras alors la valeur de l'exponentielle qui sera -1 ou 1 et tu te ramèneras à une fraction ou tu garderas les termes de plus haut degré pour connaitre la limte c'est-à-dire à n/n²= 1/n qui tend vers 0

inviteaf48d29f · 13/08/2011, 13h34

Envoyé par 369

pour ta fonction tu peux aussi considérer le cas n pair ou impair tu auras alors la valeur de l'exponentielle qui sera -1 ou 1

Il n'y a pas de i dans l'exponentielle. Une exponentielle de réel, ça peut pas donner -1.

invite371ae0af · 13/08/2011, 20h48

je pense qu'il à dû oublier le i car je ne vois pas pourquoi on aurait seulement exp(npi/2)

invite565ae47e · 14/08/2011, 00h06

Merci beaucoup de prendre du temps sur ma question même si du coup, je ne sais pas ce qui est bon ou non

Alors c'est bien la bonne expression mais j'ai oublié de préciser que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
résultaient d'une intégration par parties de :

d'où la présence de (pi/2) sans le i.
Je dois après quoi déterminer les limites en +oo de In et Jn. Désolée pour la confusion.

inviteaf48d29f · 14/08/2011, 00h30

Ne vous inquiètez pas, il y a peu de confusions de votre coté. Bon vous parlez de limite de fonction alors qu'ici vous étudiez une limite de suite, mais ce n'est pas dur de comprendre en voyant l'expression.

Votre seule indétermination c'est le produit de n fois une exponentielle d'une quantité qui tend vers -∞. Par les théorème de convergence comparée que vous avez du voir dans votre cours, la limite tend vers 0.

En fait ce que vous avez du voir c'est $\text{[math]}$
ce qui vous permet par changement de variable de dire que $\text{[math]}$
Et vous pouvez facilement vous débarasser du pi/2 en multipliant le tout par 2/pi. De toutes façon multiplier 0 par 2/pi ne change pas grand chose.

Votre indétermination est levée. Le numérateur tend vers 1, le dénominateur vers l'infini. 1/∞=0 CQFD.

Ce qui vous embrouille c'est la phrase de Thorin. C'est dû au fait que le terme "équivalent" a une définition précise en ce qui concerne les convergences der suite. Des suites sont équivalentes si elles convergent (ou divergent) de la même façon. La limite peut être la même et la façon de converger être différente. Mais ce n'est pas une notion dont vous avez besoin ici.

invite565ae47e · 04/09/2011, 01h54

Désolé pour le temps de réponse, j'ai eu quelques soucis internet !
Merci pour l'aide, je comprends mieux et j'essaie de développer le réflexe d'identifier les limites de références mais ça n'a pas l'air de porter ses fruits car,
pour ce qui est de $\text{[math]}$ je n'arrive pas lever l'indétermination, pouvez-vous m'éclairer ?
Merci par avance.

inviteea028771 · 04/09/2011, 02h01

Envoyé par ethereal

Désolé pour le temps de réponse, j'ai eu quelques soucis internet !
Merci pour l'aide, je comprends mieux et j'essaie de développer le réflexe d'identifier les limites de références mais ça n'a pas l'air de porter ses fruits car,
pour ce qui est de $\text{[math]}$ je n'arrive pas lever l'indétermination, pouvez-vous m'éclairer ?
Merci par avance.

Il suffit de diviser en haut et en bas par n :

$\text{[math]}$

à partir de là, on peut voir que le numérateur tend vers 1, et le dénominateur vers +oo

invite565ae47e · 04/09/2011, 02h15

Merci beaucoup pour la rapidité de réponse, et désolé pour le dérangement, la question n'était pas si difficile, je suis juste... vraiment pas doué

invite565ae47e · 04/09/2011, 02h34

Malheureux DP pour dire que je viens de me rendre compte d'une grosse bourde, me suis trompé en notant Jn et en mettant un n de trop :
Ainsi :
$\text{[math]}$
Help ?

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