Bonjour à tous!
Dans un exercice, on donne la définition suivante:
Soit I un intervalle fermé de R. f : I->I une application contractante, ie il existe k[0,1[ tq pour tout (x,y)I, |f(x)-f(y)|k|x-y|.
Je comprends la définition, mais pourquoi utiliser le terme "contractante" ?
Peux-tu utiliser le LaTex car c'est pas très lisible !
Envoyé par RuBisCO
Bonjour,
on appelle ces fonctions contractante car elles réduisent les longueurs. La distance entre les images de deux points est inférieure à la distance entre les points.
Merci pour ta réponse!
En effet, si M est de coordonnées (x,f(x)) et si M' est de coordonnées (y,f(y)), le théorème de Pythagore permet de montrer que le segment MM' a une longueur inférieure a |x-y|...
Mais quel est l'intérêt de ce type de fonctions?
Certains théorèmes nécessitent que la fonction soit contractante pour être applicable. Par exemple le théorème du point fixe
On a donc donné un nom à ce type de fonctions (qui sont un cas particulier des fonctions lipschitziennes)
En effet, la suite de l'exo parle de point fixe, je vais essayer de le traiter...Certains théorèmes nécessitent que la fonction soit contractante pour être applicable. Par exemple le théorème du point fixe
Et elles servent à quoi ces fonctions "lipschitziennes" ???On a donc donné un nom à ce type de fonctions (qui sont un cas particulier des fonctions lipschitziennes)
Bonjour,
Ce sont des fonctions assez sympathiques, elles sont notamment uniformément continues. Elles particulièrement agréables à traiter dans les problèmes de limites.Et elles servent à quoi ces fonctions "lipschitziennes" ???
If your method does not solve the problem, change the problem.
J'ajouterais qu'il arrive souvent que le caractère lipschitzien d'une fonction, faute d'être prononçable, soit relativement facile à démontrer et ça permet souvent de montrer facilement la continuité uniforme.
Pour leur définition, c'est la même chose que pour les fonctions contractantes mais vous pouvez avoir k n'importe quel réel positif.
De plus elles sont différentiables presque partout pour la mesure de Lebesgue ce qui est cool mais nous emmènerait un peu loin pour la partie "mathématique du collège et lycée" ^^.
Merci pour ta réponse!
Reste à savoir pourquoi une fonction est "sympathique"?
Par ailleurs, je sais (ou je crois savoir...) ce qu'est une fonction continue; mais quelle différence avec "uniformément continue" ???
Un petit tour du côté de wikipédia devrait t'aider : http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9_uniforme.
Pour ce qui est du caractère sympathique d'une fonction, cela se comprend seulement dans la pratique : en général, tout se passe bien lorsque l'on a ce type de fonctions.
If your method does not solve the problem, change the problem.
OK! Merci pour vos réponses
Au revoir.
