Dénombrement, p-arrangements

[invitee05c07a9]

Bonjour,
Je suis en train de faire mes fiches de révision pour le bac et je suis tombée sur un exemple que nous avons commencé à la fin de l'année mais pas corrigé entièrement. Je n'arrive pas à comprendre comment arriver au résultat donné, aussi j'aurais voulu savoir si quelqu'un pouvait m'aider.

L'énoncé est : Combien de nombres à quatre chiffres deux à deux distincts peut-on écrire avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?
Nous avons ensuite écrit : Un tel nombre est un 4-arrangement, ie une suite ordonnée de 4 éléments deux à deux distincts, de l'ensemble à éléments. Il y en a donc = 9x8x7x6 = 3024.
Jusque là je pense avoir compris. Ensuite on pose la même question pour des nombres inférieurs à 10⁵ en prenant les chiffres de l'ensemble {0; 1; 2; ...; 9}.
Pour le résoudre on a écrit Nombres à 1 chiffre : 10
Nombres à 2 chiffres : 9 x9 = 81
Nombres à 3 chiffres :
Nombres à 4 chiffres :
Nombres à 5 chiffres :
Au final on est censés obtenir 3291, mais je ne comprends pas puisqu'il devrait y avoir des nombres à 5 chiffres. J'ai donc essayé, pour les nombres à 3 chiffres, de faire 8 x 8 x 8, pour les nombres à 4 chiffres 7 x 7 x 7 x 7 et pour les nombres à 5 chiffres 6 x 6 x 6 x 6 x 6. Evidemment ça n'a pas donné le bon résultat et je ne vois pas trop quoi faire, donc si quelqu'un pouvait m'orienter vers une solution ce serait vraiment gentil. J'imagine que ce doit être tout bête mais je n'arrive pas à trouver ...
Merci d'avoir pris le temps de me lire et de réfléchir à ma question
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[invite91724928]

Salut, ta condition est la distinction des chiffres:
pour deux chiffre ça doit donner :

A(10,2)= 10*9=90 (Arrangement)

j’abrège ces cas pour bien comprendre :

01_02_03.... (1)
10_12_13.... (2)
20_21_23.... (3)
.................... . 10*9
.................... .
90_91_92.... (10)

mais tu as pris 9*9=81 et c'est contradictoire,

les cas annulés sont 00_11_22_33.....99

si on enlève ces cas de tous les cas possible ça donne :

10²-10=90=A(10,2)

[Caachou]

je pense que le 9*9 c'est parceque on ne prend pas le 0 en premier chifffre du nombre a 2 chiffre sinon ca revient au premier cas c'est a dire 1 chiffre. voici ce que j'écrirais mais je ne retombe pas sur le résultat donné. donc:

nombre à 1 chiffre: 10 (0, 1, 2... 9)
nombre à 2 chiffres: 9*9 : on a d'abord 9 choix (1; 2; 3... ;9) puis encore 9 choix puisque on a pas le droit de reprendre le 1er chiffre choisi mais on peut prendre le 0
nombre à 3 chiffres: 9*9*8 (9*9 expliqué ci dessus puis on a pu que 8 choix car 2 chiffre sur 10 on déja été choisi)
nombre à 4 chiffres: 9*9*8*7
nombre à 5 chiffres: 9*9*8*7*6
nombre à 6 chiffres : 0 car 10^5 = 100 000 est le premier nombre à 6 chiffres et contient plusieurs fois le mm chiffre!

donc désolé, je ne vois pas comment arriver au résultat.

et ne dis pas que c'est tout bête

n'hésite pas a demander des détails

[invite91724928]

je pense que le 9*9 c'est parceque on ne prend pas le 0 en premier chifffre du nombre a 2 chiffre sinon ca revient au premier cas c'est a dire 1 chiffre. voici ce que j'écrirais mais je ne retombe pas sur le résultat donné.

oui tout à fait c'est la deuxième condition qu elle manque pour commencer les calculs, fallait qu elle détaille bien en plus tu as fait une erreur claire le nombre recherché est 32 491 et pas 3291, bref voilà la solution :


nombre à 1 chiffre : A(10,1)=10
nombre à 2 chiffres : A(10,2)-A(9,1)=81 form 0x à annuler --- A(9,1)
nombre à 3 chiffres : A(10,3)-A(9,2)=648 form 0xy à annuler ---A(9,2)
nombre à 4 chiffres : A(10,4)-A(9,3)=4536 form 0xyz à annuler ---A(9,3)
nombre à 5 chiffres : A(10,5)-A(9,4)=27 216 form 0xyzp à annuler ---A(9,4)

donc le nombre recherché et la somme :
10+81+648+4536+27 216 =32 491< 10^5

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