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fonctions



  1. #1
    bilman

    fonctions


    ------

    Bonjour,

    Je rencontre un petit problème avec un exercice d'étude de fonctions.
    On nous donne f de R dans R, x-->f(x)=racine de x3-x4.
    Le professeur nous demande de l'étudier, or je ne parviens pas à trouver son domaine de définition. Je sais qu'il s'agit de [0,1], mais je ne saurais le démontrer.
    Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

    Quant à la dérivée, s'agit-il bien de (3x2-4x3)/2racine de x3-x4 ?


    Merci beaucoup d'avance.

    -----

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  3. #2
    C.B.

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par bilman
    Bonjour,

    Je rencontre un petit problème avec un exercice d'étude de fonctions.
    On nous donne f de R dans R, x-->f(x)=racine de x3-x4.
    Le professeur nous demande de l'étudier, or je ne parviens pas à trouver son domaine de définition. Je sais qu'il s'agit de [0,1], mais je ne saurais le démontrer.
    Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
    Pour trouver le domaine de définition, il faut que tu regarde ce qui empèche la fonction d'être définie.
    On prend un x dans R
    x3 est bien défini
    x4 est bien défini
    x3-x4 est bien défini
    racine de x3-x4 n'est définit que si ce qu'il y a sous la racine est positif ou nul.

    Il suffit de procéder pas à pas et de voir ou apparaît le problème de définition.
    Dans notre fonction, seule la racine carrée pose un problème pour l'ensemble de définition.

    Citation Envoyé par bilman
    Quant à la dérivée, s'agit-il bien de (3x2-4x3)/2racine de x3-x4 ?
    Oui, je trouve la même dérivée.

  4. #3
    g_h

    Re : fonctions

    La fonction x -> racine carée de x est définie sur R+
    Tu veux donc :
    x3 - x4 >= 0
    ce qui équivaut à :
    x3(1 - x) >= 0

    Tu fais le tableau de signes et tu trouves effectivement [0; 1]

    Pour la dérivée, déjà elle sera définie sur ]0; 1[
    et je trouve avec la formule des composées :
    (x2(3-4x))/(2*racine(x3(1-x)))

    (c'est à dire comme toi)

  5. #4
    planck

    Re : fonctions

    la fonction racine est definie sur IR+

    il faut donc que x^3-x^4 = x^3 *(1-x) appartienne à cet ensemble

    avec un tableau de signe:
    x | -inf 0 1 +inf
    x^3 | - | + | +
    (x-1) | + | + | -
    x^3-x^4 | - 0 + 0 -

    (c'est dur d'en faire, j'espere que c'est comprehensible

    donc ta fonction est bien definie sur [0;1]

    ta dérivée me parait bonne...


    edit: bon, ben voilà, trois methodes

  6. #5
    C.B.

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par g_h
    Pour la dérivée, déjà elle sera définie sur ]0; 1[
    La dérivée est définie en 0 il me semble (je trouve 0 comme valeur).

    Par contre, elle n'est pas définie en 1.
    La fonction est donc dérivable sur [0;1[ (et pas seulement sur ]0;1[)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bilman

    Re : fonctions

    Merci beaucoup pour votre aide ! Je crois avoir compris à présent !

  9. Publicité
  10. #7
    g_h

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par C.B.
    La dérivée est définie en 0 il me semble (je trouve 0 comme valeur).

    Par contre, elle n'est pas définie en 1.
    La fonction est donc dérivable sur [0;1[ (et pas seulement sur ]0;1[)
    La fonction est peut-être dérivable en 0, mais sa dérivée n'est pas définie en 0 :
    on a 2*racine(x3(1-x)) au dénominateur
    Pour x = 0, ça fait du 2*racine(0*1) = 2*racine(0) = 0
    donc 0 au dénominateur

    Par contre je veux bien croire que sa limite en 0 vaut 0 (j'ai pas vérifié)

  11. #8
    C.B.

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par g_h
    La fonction est peut-être dérivable en 0, mais sa dérivée n'est pas définie en 0
    Il y a confusion a mon avis : la dérivée est par définition définie en tout point dans lequel la fonction est dérivable.
    La fonction est dérivable en zéro donc sa dérivée est définie en zéro.

    Citation Envoyé par g_h
    on a 2*racine(x3(1-x)) au dénominateur
    Pour x = 0, ça fait du 2*racine(0*1) = 2*racine(0) = 0
    donc 0 au dénominateur
    Non, cette formule de la dérivée n'est pas valable en tout point, seulement dans l'intervalle ]0;1[ à cause de la racine carré.
    En zéro, la dérivée vaut 0.

  12. #9
    g_h

    Re : fonctions

    Hmm, très intéressant ! J'avais jamais compris ça de cette façon...

    Y'aurait pas quelque chose qui résumerait toutes ces subtilités ? (un site internet)
    ça pourrait m'être utile pour le bac

  13. #10
    GuYem

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par C.B.
    Il y a confusion a mon avis : la dérivée est par définition définie en tout point dans lequel la fonction est dérivable.
    La fonction est dérivable en zéro donc sa dérivée est définie en zéro.

    Non, cette formule de la dérivée n'est pas valable en tout point, seulement dans l'intervalle ]0;1[ à cause de la racine carré.
    En zéro, la dérivée vaut 0.
    Pas d'accord, la fonction présenté telle quelle n'est pas dérivable en zero.
    Par contre sa dérivée est prolongeable par continuité en zero.
    Aprés c'est juste un problème de définition; mais dire que la fonction est dérivable en zero c'est litigieux.

    C'est comme si je vous donnais à étudier la fonction f(x)=2x/x à étudier. Son domaine de définition c'est R* a priori. Et si il me chante de lui coller la valeur 3 en zero, elle sera pas continue.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    C.B.

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par GuYem
    Pas d'accord, la fonction présenté telle quelle n'est pas dérivable en zero.
    Par contre sa dérivée est prolongeable par continuité en zero.
    Aprés c'est juste un problème de définition; mais dire que la fonction est dérivable en zero c'est litigieux.

    C'est comme si je vous donnais à étudier la fonction f(x)=2x/x à étudier. Son domaine de définition c'est R* a priori. Et si il me chante de lui coller la valeur 3 en zero, elle sera pas continue.
    La fonction f(x)=2x/x n'est pas définie en 0.

    La fonction f(x)=racine de x3-x4 est définie en 0 car en zéro elle vaut : f(x)=racine de 03-04=recine de 0=0

    De plus on a :

    La dérivée est donc bien définie en 0.

    De plus, d'après le théorème du prolongement C1, le fait que la dérivée de f restreint à ]0 ; 1[ soit prolongeable en 0 implique que f est dérivable en 0 (et même C1 sur un voisinage de 0).
    On aurait donc pu au lieu de revenir à la définition de dérivée se contenter de montrer que f' restreint à ]0 ; 1[ se prolonge en 0.

    Dans le cas de notre fonction, ce n'est pas grave (il est peu important de savoir si elle est dérivable en 0), mais quand on cherche les solutions d'une équation différentielle, cela peut être crucial de savoir si la fonction est dérivable en des points particuliers
    Dernière modification par C.B. ; 30/03/2005 à 08h55.

  15. #12
    matthias

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par GuYem
    Pas d'accord, la fonction présenté telle quelle n'est pas dérivable en zero.
    Tu confonds. Le fait de dériver une composition de fonctions comme on le fait généralement t'assure la dérivabilité sur un certain intervalle (et te permet de calculer la dérivée sur cet intervalle), mais ne dit rien sur la dérivabilité en dehors.
    n'est pas dérivable en 0, et donc tu ne sais rien a priori sur la dérivabilité en 0 et 1 (et surtout pas qu'elle n'est pas dérivable).
    Il faut donc se ramener à la définition de la dérivabilité, ou à un théorème de prolongement.

    Citation Envoyé par GuYem
    Par contre sa dérivée est prolongeable par continuité en zero.
    Oui, et comme l'a dit C.B., on peut donc utiliser le théorème de prolongement C1.
    Mais si tu étudies la fonction :


    on ne peut pas utiliser de prolongement et pourtant elle est dérivable en 0 (de dérivée non continue).

    Citation Envoyé par GuYem
    Aprés c'est juste un problème de définition; mais dire que la fonction est dérivable en zero c'est litigieux.
    Il n'y a pas de problème de définition.
    f est dérivable en 0 si et seulement si existe.

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  17. #13
    GuYem

    Re : fonctions

    Bon d'accord
    C'était juste pour être un peu lourd.
    Vos réponses sont convaincantes.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  18. #14
    pallas

    Re : fonctions

    Et dans l'expression il faut mettre x² en facteur . Donc le domaine de définition est l'intervalle 0 à 1 bornes incluses Attention le domaine de dérivabilité n'est pas le même!
    A +

  19. #15
    g_h

    Re : fonctions

    Une autre question alors :

    Dans l'exemple de ce sujet, on obtient en calculant la dérivée une fonction non définie en 0 (en faisant abstraction du fait que ça soit la dérivée d'une fonction continue), mais dont l'écriture peut se ramener, dans certaines conditions (x positif ici), à une fonction définie en 0. (le hic c'est que je pars d'une fonction non définie en 0, donc je ne sais pas si...)

    J'aimerais savoir, si je veux faire quelque chose de mathématiquement correct, ce que je dois écrire sur ma copie pour justifier le fait que la dérivée est définie en un réel, sans faire un calcul lourdingue du taux de variation avec (f(x+h) - f(x))/h

    Est-ce que l'on peut dire que f est dérivable sur I si et seulement cette dérivée que l'on a calculée admet une limite (et pas forcément une image si j'ai bien compris, ça ne marche pas forcément) réelle pour chaque réel de l'intervalle I ?
    Dernière modification par g_h ; 30/03/2005 à 15h28.

  20. #16
    matthias

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par g_h
    Est-ce que l'on peut dire que f est dérivable sur I si et seulement cette dérivée que l'on a calculée admet une limite (et pas forcément une image si j'ai bien compris, ça ne marche pas forcément) réelle pour chaque réel de l'intervalle I ?
    Non, puisque la dérivée n'est pas forcément continue. Le fait que la fonction que tu as calculée n'admette pas de limite en un point ne signifie pas que la fonction n'est pas dérivable en ce point.
    Fais l'essai avec la fonction :




    Calcule la dérivée, regarde si elle admet une limite en 0, et calcule le taux de variation.

  21. #17
    C.B.

    Re : fonctions

    Tu as par contre un morceau de ce que tu voulais :

    Si f est définie et continue sur [a; b[ et que sa dérivée g sur ]a ; b[ admet une limite l en a, alors f est dérivable en a et : f '(a)=l

  22. #18
    g_h

    Re : fonctions

    Comme taux de variation je trouve h*sin(1/h), ce qui vaut... ? (comment le calculer ? h²*sin(1/h) = 0 d'après la définition de f, mais h*sin(1/h) ? ne serait-ce pas une forme indéterminée ?)

    De plus, ici tu dis : f(0) = 0, c'est un cas assez particulier de fonction alors (enfin pour moi)
    Je parlais de fonctions qui ne sont définies que par une unique expression, une fonction "normale" (désolé d'employer ce mot)

    Mais admettons qu'il n'y ait pas d'équivalence dérivabilité <=> limite de la fonction dérivée calculée

    Ai-je le droit de dire que si la fonction dérivée calculée admet une limite en un réel, alors la fonction est dérivable en ce réel ?
    Ou le seul moyen de justifier d'une dérivabilité est-il vraiment le calcul du taux de variation ?

    EDIT : ok, merci C.B., je n'avais pas vu ton message
    Mais celà ne s'applique qu'à la borne inférieure de l'intervalle ? Je trouve ça assez curieux...

  23. Publicité
  24. #19
    matthias

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par g_h
    Comme taux de variation je trouve h*sin(1/h), ce qui vaut... ? (comment le calculer ? h²*sin(1/h) = 0 d'après la définition de f, mais h*sin(1/h) ? ne serait-ce pas une forme indéterminée ?)


    Citation Envoyé par g_h
    De plus, ici tu dis : f(0) = 0, c'est un cas assez particulier de fonction alors (enfin pour moi)
    Je parlais de fonctions qui ne sont définies que par une unique expression, une fonction "normale" (désolé d'employer ce mot)
    ça n'est pas vraiment un cas particulier, c'est un prolongement par continuité. Si on avait pris une autre valeur, la fonction n'aurait pas été continue, et elle n'aurait donc pas été dérivable non plus. Ceci étant dit, c'est une fonction parfaitement normale.

  25. #20
    g_h

    Re : fonctions

    Oups, ok pour le taux de variation, je suis bête...


    Sinon, je reprends:
    Ai-je le droit de dire que si la fonction dérivée calculée admet une limite en un réel, alors la fonction est dérivable en ce réel ?

    Parce qu'en DS, on nous demande toujours de calculer le taux de variation pour justifier d'une dérivabilité, alors qu'avec la limite de la dérivée, c'est souvent bien plus rapide...

  26. #21
    C.B.

    Re : fonctions

    Citation Envoyé par g_h
    EDIT : ok, merci C.B., je n'avais pas vu ton message
    Mais celà ne s'applique qu'à la borne inférieure de l'intervalle ? Je trouve ça assez curieux...
    C'est valable pour le sup aussi. Mais je suppose qu'il doit exister des conditions encore plus faible, il faudrait regarder la démonstration en détail.

    Toutefois, il découle de ce qui précède que cela fonctionne pour un point x dans un intervalle :
    Par exemple, si f est définie et continue sur ]a b[ et dérivable sur ]a c[ et ]c b[ et que sa dérivée admet une limite l en c alors la fonction est dérivable en c et sa dérivée en c est l.

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