Démontrer la formule de l'aire d'un cercle

[Keusss]

Bonjour,

je suis en train d'essayer de démontrer la formule de l'aire d'un cercle : pi r^2 mais je bloque sur un truc, je m'explique :
j'ai construit un cercle trigo et j'ai cherché l'aire d'un quart de cercle avec les intégrales; en sachant que une intégrale c'est la somme des aires de tous les carrés qui forment ce cercle, j'ai donc cherché l'aire d'un mini carré la longueur c'est dr mais la largeur de ces carrés c'est quoi?
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[Jon83]

Bonjour,

je suis en train d'essayer de démontrer la formule de l'aire d'un cercle : pi r^2 mais je bloque sur un truc, je m'explique :
j'ai construit un cercle trigo et j'ai cherché l'aire d'un quart de cercle avec les intégrales; en sachant que une intégrale c'est la somme des aires de tous les carrés qui forment ce cercle, j'ai donc cherché l'aire d'un mini carré la longueur c'est dr mais la largeur de ces carrés c'est quoi?

Comme je te l'ai montré pour le calcul du périmètre, pour trouver la surface du quart de cercle, tu calcules la surface d'un secteur angulaire d'angle : tu l'assimiles à un triangle de base et de hauteur r;
ça donne : .
Ensuite, tu sommes en faisant varier . Tu auras la surface du quart de cercle. En multipliant par 4, tu obtiens la surface du cercle complet!!!

[Keusss]

donc on calcule pas les aires des carrés mais des triangles c'est sa? mais l'aire d'un triangle c'est quoi deja^^

[Jon83]

Bonjour!
Dans le schéma ci joint, on calcule la surface du triangle OAB: .

Or, OA=r et comme l'angle est infiniment petit, on assimile la hauteur BH avec la corde AB:

donc .
Pour avoir la surface du quart de cercle, on fait varier l'angle de 0 à et on fait la somme de la surface de tous les triangles (intégrale).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Keusss]

BH = AB = rd teta c'est r sinus dteta non?

[Keusss]

et je comprends pas aussi quand tu dis qu' on fait varier l'angle de 0 a pi/2, l'angle du triangle infiniment petit sera toujours le même sa sera d téta, si l'angle augmente alors a chaque fois on additionnera l'aire du triangle qui a un angle téta a l'aire du triangle qui a un angle téta +1

[Jon83]

Regarde bien la figure, elle vient d'être validée! J'ai volontairement exagéré la valeur de l'angle, mais il faut l'imaginer infiniment petit!

[gbsatti]

salut, je remonte ce topic, car je comprend pas le

quelqu'un peut expliquer svp ?

[Seirios]

En fait, on a qui vaut multiplié par le sinus de l'angle ; ici, comme est infinitésimal, son sinus peut être confondu avec lui-même, d'où . Ensuite, il faut remarquer que, encore parce que est infinitésimal, et peuvent être confondus. Finalement, .

Mais nous sommes d'accord qu'il ne s'agit pas d'une preuve, mais d'un argument "avec les mains".

[gbsatti]

Ok, merci j'ai compris