Bonjour
J'ai cette exercice a faire mais je n'arrive pas a comprendre ce qu'est réellement une bijection et comment l'appliquer
1) Démontrer que la fonction g définie par g(x)= (2x+1)/(x-1) est une bijection de I= ]1;+00[vers J= ]2;+00[
2) Déterminer la fonction réciproque g-1 de g
Je n'arrive vraiment pas à démarrer
Merci d'avance de m'aider
pour montrer que c'est une bijection tu peux étudier le sens de variation de la fonction , tu dois normalement trouver qu'elle est strictement décroissante sur ]1,+inf[ donc c'est une bijection. Pour trouver vers quoi, tu calculer la limite en 1 et en +inf
2) pose y=(2x+1)/(x-1) et exprime x en fonction de y. Tu dois avoir x=g^(-1) (y)
Lorsque j'etudie les variations de f(x) je ne trouve pas du tout comme vous
x -00 -1/2 1 +00
2x+1 - + +
x-1 - - +
f(x) + - +
Elle est strictement décroissante sur .1/2;1
Je me suis trompé??
Lorsque j'etudie les variations de f(x) je ne trouve pas du tout comme vous
x -00 -1/2 1 +00
2x+1 - + +
x-1 - - +
f(x) + - +
Elle est strictement décroissante sur .1/2;1
Je me suis trompé??
f'(x)= -3/(x-1)²
ce que tu as fais ce n'est pas les variations de f mais son signe. Pour trouver les variation de f il faut calculer sa dérivée f'(x)
ah mince oui c'est vrai et effectivement je trouve -3/ (x-1)² je calcule maintenant la lim en 1?Envoyé par 369
oui en 1 et en +oo
mais sa suffit que je dise qu'elle décroit sur 1;+00 pour montrer la bijection? J je ne l'utilise pas??
en faites J tu va le trouver avec les limites
Comme ta fonction est strictement décroissante c'est forcément une bijection. regarde la fonction 1/x en ]0,+oo[ pour tout y dans [0,+oo[ il existe un unique x dans ]0,+oo[ tel que y=1/x
En fait non je ne comprends pas
D'apres ce que vous m'avez dit pour montrer que g est une bijection de I= ]1;+00[ vers J= ]2;+00[ il faut etudier le sens de variation de g. Or en faisant le tableau on constate qu'elle est decroissante sur ]1;+00[ on a donc déterminer I. Etant donné que J est compris dans 2;+00[ J appartient a g
est-ce que c'est exact jusque la??
Ensuite il faudrait que je calcule les limites mais pour qui et pourquoi??
en faite si tu calcule les limites en 1 et +oo tu verras que c'est J. En faites J est l'image de I par g
quand je calcule les lim en 1= 0+ et en +00 j'ai une forme indeterminée
x-->1+
en +oo tu ne garde que les termes de plus haut degré ca donne 2x/x=2 quand x tend vers +oo
en 1 par valeur supérieur tu as: 3/0+=+oo
Mais je ne peut tout simplement pas dire que J appartient a l'intervalle de g(x) et est donc inclu dans I ??
J est l'image de I par g c'est-à-dire: g(I)=J il n'y a aucun lien avec une inclusion
attendez ralentissons un peu que je m'y retrouve
oui oui je vois ou a été mon erreur donc nous avons ces limites et je vois apparaitre un bout de J j'assemble et la on retrouve ]2;+00[ mais au niveau rédaction je suis un peu confuse la j'ai l'impression de passer du coq à l'ane en un claquement de doigt
tu regardes simplement ton tableau de variation: la fonction est strictement décroissante donc elle est bijective
reste la question de quoi vers quoi?
tu regardes de nouveau le tableau et tu trouves ce que tu voulais
En disant sa et en le prouvant surtout est-ce que j'ai répondu a la question 1? ou manque t-il quelque chose d'autre?
c'est bon si tu fais le tableau de variation et que tu dis que la fonction est strictement décroissante
D'apres mon tableau elle est décroissante sur ]-00;1[U]1;+00[ exact?
oui mais ton ton énoncé on ne s'intéresse qu'à la partie ]1,+oo[
Dans ce cas elle decroit sur 1;+00 mais on l'a deja dit précedement non? c'est bon je peux passer a la 2 ou il faut ajouter autre chose?
tu peux passer à la 2
pose y=(2x+1)/(x-1) et exprime x en fonction de y. Tu dois avoir x=g^(-1) (y)
j'exprime x en fonction de y j'ai x= (2y+1)/(y-1) mais pourquoi je devarais avoir g(-1) (on est d'accord que quand j'ai une telle ecriture il me suffit juste de remplacer x par 1?)
f c'est y=f(x) donc f^(-1) sera x=f^(-1) (y)
mais je vois pas comment faire le truc en fait
pr f(-1) il faut ou pas remplacer x par -1?
déjà ce n'est pas f(-1) mais f^(-1) il n'y a pas à remplacer x par quelque
seulement exprimer x en fonction de y
autrement dit avoir que x d'un côté de l'égalité:
y=(2x+1)/(x-1)
x=(-1-y)/(2-y)
Mais est ce que c'est suffisant que je mette que x= y+1/ y-2? je suis totallement dépassée la il ne manquerait pas quelquechose?
Je suis vraiment désolée vous devez vraiment me prendre pour une imbécile qui comprend rien de rien mais j'y arrive pas...:'(
en faites tu as f^(-1) (x)=(x+1)/(x-2) en changeant y en x
pour vérifier tu prend J=]2,+oo[
quand x tend vers 2 tu as f^(-1) (x) qui tend vers+oo et quand ca tend vers +oo tu as f^(-1) (x) qui tend vers 1, tu retrouves I
