suite convergente

invite5a55b7aa · 23/09/2011, 23h39

Bonjour, je suis préoccupée par un exercice de maths, j'ai vraiment cherché longtemps et j'espere que vous pourrez m'aider...

A une question de l'exercice je me trouve avec deux suites:
U0=15000
Un+1=0,96Un+300

Vn=Un-300 soit Vn+1=0,96Un

->J'en ai déduit que Vn était une suite géométrique de raison 0,96

On me demande d'exprimer Vn et Un en fonction de n.
->Vn=14700 x 0,96^n
mais pour Un je ne sais as si c'est une suite géométrique, est-ce que je pourrais écrire Un=0,96^n x 15000 ?

ensuite on me demande de dire si Un est convergente

et je suis perdue

inviteea028771 · 24/09/2011, 00h58

Attention, $\text{[math]}$ n'est pas une suite géométrique. Une suite géométrique c'est quand tu as $\text{[math]}$ , or ici tu n'a pas $\text{[math]}$ à droite, mais $\text{[math]}$ ! Tu ne peux donc pas dire grand chose.

Je te conseillerai plutôt de poser $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit une suite géométrique, c'est à dire $\text{[math]}$

Pour déterminer a, il faut résoudre $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On peut vérifier que c'est bon :
$\text{[math]}$

La suite $\text{[math]}$ ainsi définie est bien une suite géométrique.

En modifiant ton résultat pour l'adapter à la nouvelle suite $\text{[math]}$ , on trouve $\text{[math]}$ .

Pour trouver $\text{[math]}$ , il suffit d'écrire $\text{[math]}$ , et de remplacer $\text{[math]}$ par sa valeur. (rappel, $\text{[math]}$ n'est pas une suite géométrique).

Pour la convergence, que peux tu dire de la limite de $\text{[math]}$ ? D'après la relation $\text{[math]}$ quelle serra alors la limite de $\text{[math]}$ ? (rappel, la limite de la somme est égale à la somme des limites, du moins quand les limites sont finies)

invite5a55b7aa · 24/09/2011, 01h55

Merci de votre réponse

Vn=7500 x 0,96^n
à la calculatrice je vois que la suite Vn a pour limite en +l'infini 0
0<0,96<1 donc la suite est décroissante
je fais la dérivée de Vn ce qui me donne (Vn)'=7500 x n0,96^n-1
j'ai du mal avec les limites
euh pourriez vous m'aider encore?

inviteea028771 · 24/09/2011, 02h40

Attention, il s'agit de suites, on ne peux pas parler de dérivée ici.

Pour la limite d'une suite géométrique, il faut retenir trois cas :
- La raison est strictement supérieure à 1 : La suite diverge vers +oo (si V0 > 0. Si V0 < 0, elle diverge vers -oo)
- La raison est strictement entre -1 et 1 : La suite converge vers 0
- La raison est strictement inférieure à -1 : La suite diverge et oscille entre les valeurs positives et négatives, elle n'admet donc pas de limite.

Je pense que dans ton cours on admet ce résultat, en tout cas retiens le.
(Pour le prouver, il faudrait définir précisément ce qu'est une limite, et ça n'est pas au programme du lycée)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite5a55b7aa · 24/09/2011, 03h17

merci beaucoup

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