fonction et continuité

[invitea306da7c]

Bonjour
Pourriez vous m'apporter votre aide pour réussir mon exercice s'il vous plait
Voici l'énoncé:
Soit g la fonction définie par g(x)= 1/(x+1), x appartient à ]-1;0[
g(x)= cos(x), x strictement sup ou égal à 0

a) g est-elle continue en 0?
b) g est-elle dérivable en 0?
c) Expliquer ce qu'il se passe au voisinage de 0

Voila mes réponses:
a) La fonction cos est continue sur R donc continue en 0 à droite
lim 1/(x+1)= 1
x-->0-
g est continue en zéro à gauche

g est donc continue en 0

b) g est dérivable en 0 car g est défini et continue en 0

c) Au voisinage de 0 ...???

Pourriez vous me corriger
Merci d'avance
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[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Commencez par dessiner le graphe de votre fonction. Vous ne pouvez pas répondre à ce genre de question sans savoir ce que vous cherchez à démontrer.

Pour la question b, non, ce n'est pas parce qu'une fonction est continue qu'elle est dérivable. D'ailleurs votre fonction ne l'est pas comme ça se voit très bien sur un dessin. Calculez le nombre dérivé à droite et à gauche de votre fonction, sont ils égaux ?

Pour la question c, on vous demande d'expliquer ce qu'il se passe qui fait que votre fonction est continue mais pas dérivable en 0. Au voisinage ça veut dire "autour" de 0. Encore une fois, sans un dessin, vous ne verrez rien.

P.S : Évitez les doubles posts, ça le fait pas.
Edit => Quadruple post... vraiment faut pas.

[invitea306da7c]

désolé pour le double post je pensais que sa n'avait pas bien envoyé la première fois

[invitea306da7c]

Pour la question b, non, ce n'est pas parce qu'une fonction est continue qu'elle est dérivable. D'ailleurs votre fonction ne l'est pas comme ça se voit très bien sur un dessin. Calculez le nombre dérivé à droite et à gauche de votre fonction, sont ils égaux ?

Comment calculer à droite et à gauche je ne sais pas faire

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf48d29f]

Ça m'étonne étant donné que vous avez parlé vous même de continuité à gauche et à droite, il s'agit de la même chose pour la dérivation.

Votre fonction f est définie sur ]-1; +∞[, j'appelle d sa restriction sur [0; +∞[ (la droite de 0). C'est à dire que d(x)=f(x) pour x plus grand que 0 et n'est pas définie pour x<0. Alors f est *quelque chose* à droite en 0 si d est *quelque chose* en 0.
Ici f est dérivable à droite en 0 si d l'est et son nombre dérivé à droite en 0 est le nombre dérivé en 0 de d.

Vous avez d(x)=cos(x), c'est bien dérivable et le nombre dérivé à droite en 0 de f est donc bien d'(0).

Ensuite vous calculez le nombre dérivé à gauche en 0 en introduisant une nouvelle fonction restreinte g. Si vous avez g'(0)=d'(0) alors f est dérivable à droite et à gauche de même nombres dérivés à droite et à gauche en 0 donc f est dérivable en 0 et son nombre dérivé est égal à ces nombres dérivés à droite et à gauche.

Edit : Je viens de me rendre compte que votre fonction de base s'appelait g et pas f. Eh bien tant pis, vous vous adaptez. De toutes façons je préfère utiliser le "g" pour "gauche" ^^.

[invitea306da7c]

Excusez moi mais j'ai beau lire et re-lire et meme tenter des calculs mais je ne comprends pas se que je dois faire au juste

[inviteaf48d29f]

Le problème c'est que j'ai du mal à savoir précisément ce que vous ne comprenez pas. Première chose, est-ce que vous avez fait un dessin et tracé votre courbe ? Si oui, qu'est ce que vous voyez qu'il se passe en 0 ? Sinon, qu'attendez vous pour le faire ?

Je reprends vos notations et je nomme de nouveau la fonction que vous étudiez g.

Je défini maintenant une autre fonction, que j'appelle d définie par d(x)=cos(x) si x≥0. Est-ce que vous pouvez justifiez que cette fonction est continue en 0 ? Dérivable en 0 ? Calculer son nombre dérivé en 0 ?

Maintenant si je dis que la fonction d est la restriction de g à droite de 0, est-ce que vous êtes d'accord ? Ensuite par définition de la continuité (respectivement dérivabilité) à droite en un point, g est continue (resp dérivable) à droite en 0 si et seulement si d est continue (resp dérivable) en 0. Si vous n'êtes pas d'accord sur ce point, donnez moi mot pour mot la définition de la continuité et de la dérivabilité à droite qui se trouve dans votre cours.

Donnez moi en détails quelles sont les étapes parmi celles que j'ai explicitées qui vous posent problème.

[invitea306da7c]

qu'est ce que vous voyez qu'il se passe en 0 ?

En o les 2 courbes se coupent à y=1

[invitea306da7c]

[invitea306da7c]

d(x)=cos(x) si x≥0 Est-ce que vous pouvez justifiez que cette fonction est continue en 0 ?

lim cos(x)= cos(0)= 1 La fonction cos est continue sur R
x---0

[invitea306da7c]

Dérivable en 0

la dérivée de cos x est -sinx

[invitea306da7c]

En o la valeur du cosius vaut 0

[inviteaf48d29f]

Edit, vous n'aviez fait qu'un seul de vos posts. En revanche poster des messages à la vitesse de leur écriture d'intervalle, donc sans réfléchir, n'est pas une bonne idée.
Faites un seul post où vous répondez à toutes mes questions en une fois, et prenez le temps d'y réfléchir sérieusement. Je ne continuerais de vous aider qu'à cette condition.

[invitea306da7c]

Maintenant si je dis que la fonction d est la restriction de g à droite de 0, est-ce que vous êtes d'accord

Oui je suis d'accord car d= g(x)>0

[invitea306da7c]

Edit, vous n'aviez fait qu'un seul de vos posts. En revanche poster des messages à la vitesse de leur écriture d'intervalle, donc sans réfléchir, n'est pas une bonne idée.

Mais je réfléchis en même temps j'essaye de resoudre l'exercice pas à pas en fonction de ce que vous dites..mais c'est faux tout ce que je dis?

[inviteaf48d29f]

Mais je réfléchis en même temps j'essaye de resoudre l'exercice pas à pas en fonction de ce que vous dites..mais c'est faux tout ce que je dis?

Il y a des choses justes et des choses fausses. Ce qui s'appelle un galimatias. Vous vous précipitez pour répondre à mes questions. Cet exercice vous pose de gros problèmes de compréhension, vous ne pouvez pas répondre dans la précipitation.
Prenez un papier et un crayon, répondez à mes question sur votre brouillon, essayez de comprendre votre réponse ainsi que la raison pour laquelle je vous ai posé la question et ensuite rédiger votre réponse sur le forum.

Oui je suis d'accord car d= g(x)>0

Il faut que vous réfléchissiez vraiment en détail à cette notion. Vous ne comprenez ni ce qu'est une fonction ni ce qu'est son ensemble de définition. J'espère que c'est le fait de répondre dans la précipitation qui vous fait dire de telles abominations. Prenez votre temps.

[invitea306da7c]

J'ai tout repris:

a. lim 1/(x+1)= 1
x-->0+
lim 1/(x+1)= 1
x-->0-

lim cos(x)= 1
x-->0-
lim cos(x)= 1
x-->0+

Donc g est continue en 0 à droite et à gauche

b) [f(a+h)-f(a)]/h
x-->0

f(a+h)= cos(0+h)= cos(h)
f(0)= cos(0)= 1
f(0+h)-f(1)= [cos(h)-1]/h

lim [f(0+h)-f(1)]/h= [cos(h)-1]/h= cos(h)-1

f est dérivable en 0 et f'(0)= cos(h)-1

J'ai fais ceci suite à votre premier ou second post

[invite058b6c66]

Il y a une erreur de raisonnement que vous faites pour la question (a). Pour votre première réponse vous disiez:

donc continue à gauche. Et à droite la fonction cosinus est continue, donc c'est continue

La deuxième version de votre réponse est aussi fausse, mais c'est plus subtil, là vous affirmez:

(P)

Dans le premier cas, ce qui est faux est d'affirmez qu'une fonction est continue en un point parce qu'à gauche elle a une limite finie et qu'à droite elle est continue. Dans le deuxième, il est faux de croire qu'une fonction est continue parce que sa limite à droite et à gauche sont les mêmes.

La bonne réponse consiste à montrer que g a une même limite à droite et à gauche (ce que vous avez fait) ET que cette limite commune correspond à la valeur qu'on a donné à g(0) dans la définition. Or dans la définition, il est dit qu'en zéro g vaut g(0)=cos(0)=1.

Un exemple simple : Prenez g définie par



On a bien la propriété (P) mais la fonction n'est pas continue. Donc voilà pour ce détail qui a son importance. Une fonction g est continue en A si et seulement si elle a même limite à droite et à gauche de A et que cette limite commune vaut g(A). Et si g n'a pas été définie en A avant, alors on parle de prolongement par continuité plutôt que de continuité.

Pour la deuxième question, il n'est pas utile de repartir de la définition d'une fonction dérivée. Si vous avez bien compris le raisonnement pour la question a) alors c'est presque le même que pour la question b) à un détail près, on l'applique à la dérivée g' et non pas g. En effet, dire que g est dérivable en 0 c'est dire que g' a même limite à droite et à gauche en 0. Est-ce le cas?

La question c) est une conclusion, vous devez indiquer ce que signifie graphiquement les réponses données à la question a) et b). Comme vous avez cherché un peu, je vous les donne:
La fonction est continue en 0, donc sa courbe est en un seul morceaux, mais non dérivable, donc la pente à gauche de 0 n'est pas la même qu'à droite.

Un exemple de fonction dans le même style est la valeur absolue, pensez-y.

[invitea306da7c]

Une fonction g est continue en A si et seulement si elle a même limite à droite et à gauche de A et que cette limite commune vaut g(A). Et si g n'a pas été définie en A avant,
alors on parle de prolongement par continuité plutôt que de continuité.

lim 1/(x+1)=1 et à droite lim cos(x)=1 donc f est continue à gauche et a droite
x-->0- x-->0+

la fonction g est continue en0 si et seulement si elle a meme limite à droite et à gauche de 0 et que cette limite commune vaut g(0)= 1 c'est le cas

[invitea306da7c]

b) J'applique la meme méthode donc d'apres ce que j'ai compris je dois prouver que mes 2 limites à gauche et a droite sont commune en g(0) pour démontrer que g est dérivable:
g'= -1/(x+1)² x<0
g'= -sin(x) x>0

lim -1/(x+1)²= -1
x-->0- ( gauche)

lim -sin(x)=0
x-->0-( droite)
x -00 0 +00
-sinx + -

Etant donné que g n'a pas la meme limite à droite et à gauche et que ces lim ne correspondent pas à la valeur g'(0) g n'est donc pas dérivable en 0

[invitea306da7c]

On a f(0)= cos(0)= 1
quand x tend vers zero par valeurs superieurs on a lim f(x)=lim cos(x)=1=f(0)k
x-->0
x>0

f est donc continue à droite de 0
de meme quand xtend vers zero par valeur inférieurs on a lim f(x)= lim 1/(x+1)= 1=f(0)k
x-->0
x<0

f est donc continue en 0

La rédaction est-elle bonne?

[invitea306da7c]

b)On a f'(0)=-sin(0)= 0
quand x tend vers zero par valeurs superieurs on a lim f'(x)=lim -sin(x)=0=f'(0)
x-->0+
x>0

f est donc continue à droite de 0
de meme quand xtend vers zero par valeur inférieurs on a lim f'(x)= lim -1/(x+1)²= 0+=f'(0)
x-->0-
x<0

f est donc dérivable en 0

Est-ce correct je voudrait mettre au propre cet exo