Etude de Fonction (exp) TermS

[invite8f3530d3]

Voici la Partie B d'un Exercice avec lequel J'ai beaucoup de mal malheureusement.
Énoncée Générale:
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O;i;j )
On s'intéresse aux fonctions f dérivables sur [ O; +∞[ vérifiant les conditions:

{(1): pour tout réel x appartenant à [ O; +∞[ f'(x)=4-(f(x)²
(2): f(0)=0

On admet qu'il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2).

Partie B, Étude d'une fonction

Soit g la fonction définie sur [ O; +∞[ par g(x)=2 (e^4x -1)/(e^4x +1) et Gg sa courbe représentative.

1) Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2)
2)a) Montrer que (Cg) admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation.
b) Étudier les variation de g sur [ O; +∞[
3) Déterminer l'abscisse ∝ du point d'intersection de ∆ et de la Tangente à (Cg) à l'origine.

J'ai réussi à montrer que la fonction vérifie la condition 2 :

g(o)=2*((e^4*0 -1)/(e^4*0 +1))
=2*((e^0-1)/(e^0+1))
=2*((1-1)/(1+1))
=0

Mais je n'arrive pas a faire la dérivé de la fonction :/
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[L-etudiant]

Salut,

tu n'arrives pas a dériver parce que tu connais pas les formules (donc ton cours) ou parce que tu vois pas quelles formules utiliser ou tu n'arrives pas a simplifier ?

Sinon c'est de la forme (u/v) et il faut utiliser (e^u(x))'=?

Et sinon la suite c'est bon ?

[ansset]

bonjour,
rappel
la dérivée de u(x)/v(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v²(x)

grillé par L-etudiant

[invite8f3530d3]

La suite J'n y arrive pas non plus
Si Si j'connais les formule de mon cours mais je trouve un résultat qui correspond pas:
On a h(x)= e^4x
=>h'(x)=4e^4x

Donc On dérive g(x)= 2* ((u'v*v'u)/v²)
= 2* (4e^4x*(e^4x +1)- 4e^4x*(e^4x -1) )/(e^4x+1) ²
= 2* 4(e^4x)²+4e^4x -4(e^4x)²+4e^4x
=2* 8e^4x/(e^4x+1)²
= 16e^4x/(e^4x+1)²

[A voir en vidéo sur Futura]

[L-etudiant]

La suite J'n y arrive pas non plus
Si Si j'connais les formule de mon cours mais je trouve un résultat qui correspond pas:
On a h(x)= e^4x
=>h'(x)=4e^4x

Donc On dérive g(x)= 2* ((u'v - v'u)/v²)
= 2* (4e^4x*(e^4x +1)- 4e^4x*(e^4x -1) )/(e^4x+1) ²
= 2* 4(e^4x)²+4e^4x -4(e^4x)²+4e^4x
=2* 8e^4x/(e^4x+1)²
= 16e^4x/(e^4x+1)²

Et ? C'est bon ! Apres pour montrer l'égalité soit tu retravailles soit tu pars de , la deuxième étant plus simple je pense (apres ce genre de truc je fais toujours une connerie donc je le ferai pas... mais c'est juste calculatoire.)

2a Comment trouve-t-on l'équation d'une asymptote ? (c'est de la forme )
2b Etude de variation normalement en TS c'est OK.
3 Equation de la tangente en 0 ca doit etre dans le cours (en point a peut-etre...)

P.S. : j'ai corrigé dans la citation une coquille (en bleue)

[invite8f3530d3]

Oui Jai fais la comparaison Mais Je pense avoir fait des erreurs de calcul
D'un coté je trouve

4-(g(x))²= 4- (2 (e^4x -1)/(e^4x +1))²
= 4(e^4x +1)²/(e^4x +1)² - (2e^4x-2)²/(e^4x +1)²
=(4e^4x +4)²- (2e^4x-2)²/(e^4x +1)²
=(4e^4x)²+2*4e^4x*4+4²-( (2e^4x)²-2*2e^4x*2+2²)/(e^4x +1)²
=(4e^4x)²+32e^4x+16-(2e^4x)²+8e^4x-4/(e^4x +1)²
=(2e^4x)²+24e^4x-4/(e^4x +1)²

J'menmèle les pinceaux ...
D'un autre Coté j'trouve 64e^4x/(e^4x +1)² parce que = 4(e^4x +1)²/(e^4x +1)² - (4e^4x-4)²/(e^4x +1)²

Je change le 2 en 4

Puis Pour l’asymptote ∆ Comme on a lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 Alors La courbe (Cg) Admet une asymptote horizontale d’équation y=2 ?

[L-etudiant]

Oui Jai fais la comparaison Mais Je pense avoir fait des erreurs de calcul

J'menmèle les pinceaux ...

C'est pour ca que je fais pas les calculs lol

Puis Pour l’asymptote ∆ Comme on a lim(n -> +∞)⁡g(x)=2 Alors La courbe (Cg) Admet une asymptote horizontale d’équation y=2 ?

Oui c'est ca.

Ensuite les variations...

[invite8f3530d3]

J'reverrais mes calcules plus tard j'm en sortirais jamais sinon

Alors les variations On a :
g'(x)= 16e^4x/(e^4x+1)²

La fonction exp est strictement positive donc on a d'une part 16e^4x positif
et d'autre part (e^4x+1)² positif
Donc 16e^4x/(e^4x+1)²≫0

[ansset]

J'menmèle les pinceaux ...

essayes plutôt d'ecrire 4-g(x)²=(2-g(x))(2+g(x))
et de ramener chacun des deux facteurs au même dénominateur, ça va plus vite

[invite8f3530d3]

Ouii Jai le bon calcule <3 !

Donc ensuite j'ai :


2)a) Pour le détaille de la limite je trouve :
lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 (e^4x -1)/(e^4x +1)

On a d'une part : lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x -1)/(e^4x +1)〗=lim┬(n→+∞)⁡〖(e^4x)/(e^4x)〗=1
(car = lim du polynome de plus haut degré ?)

donc on a lim┬(n→+∞)⁡〖g(x)〗=2 *1 =2

Donc Pour l’asymptote ∆ Comme on a lim(n -> +∞)⁡g(x)=2 Alors La courbe (Cg) Admet une asymptote horizontale d’équation y=2

b) On a :
g'(x)= 16e^4x/(e^4x+1)²

La fonction exp est strictement positive donc on a d'une part 16e^4x positif
et d'autre part (e^4x+1)² positif
Donc 16e^4x/(e^4x+1)²≫0 (tableau ci joint)

Pour l'abscisse ∝ du point d'intersection de avec la tangente à (Cg) à l'origine:
(La tangente est-elle juste sur le graphique ?)

Determinons M(∝;2)

On fait un système d'équation avec l'équation de ∆ y=2
et celle de la tangente (elle passe par l'origine donc y=ax

Donc 2=ax ?

[L-etudiant]

Re,

y'a pas encore les images, mais l'équation de la tangente c'est pas ca...

Tu peux connaitre tout les coeff.

[invite8f3530d3]

Oui l'équation de la tangente c'est : y= g'(a)(x-a)+g(a) ?

Mais avec ∝ c'est un peu galère:

y= g'(∝)(x-∝)+g(∝)

[L-etudiant]

Ok pour l'equation de la tangente.

Sinon pourrais-tu eviter de faire des copier-coller (ou quoi que tu fasses...) car ca fait des caractères invisibles.

Sinon je devine que c'est [TEX]x_0[\TEX]. Or ta tangente tu la veux en quel point ?

Au fait oui ton dessin est bon.

[ansset]

j'ai cru comprendre que la tangente était à l'origine (0 ,0)
donc sa pente ( le a de Aleanna ) vaut g'(0) et on sait que g(0)=0
et c'est bien 2=ax pour trouver x ( ce qui correspond à ton dessin à un pouillème près ).

[L-etudiant]

j'ai cru comprendre que la tangente était à l'origine (0 ,0)
donc sa pente ( le a de Aleanna ) vaut g'(0) et on sait que g(0)=0
et c'est bien 2=ax pour trouver x ( ce qui correspond à ton dessin à un pouillème près ).

Oui,

je voulais juste qu'elle ecrive l'equation de la tangente en 0.

[invite8f3530d3]

Déterminons l'équation de la tangente à (Cg) à l'origine donc : (Passe par l'origine donc y=ax)

y=g ' (0) x + g(0) en sachant que g(0)=0 On a :
y=g'(0) x <=> y=16 e^4*0/(e^4*0 +1)² x
y=16*1/2² x
y=16/4 x Donc y=4x

On a le point M (∝;2) intersection de et de la tangente:
y=2
y=4x
2=4x donc x=2/4=0.5

L'abscisse ∝ est 0.5 ?


En tout cas une grand Mercii à vous deux de m'avoir aidé C'est adorable de votre part !

[L-etudiant]

Déterminons l'équation de la tangente à (Cg) à l'origine donc : (Passe par l'origine donc y=ax)

y=g ' (0) x + g(0) en sachant que g(0)=0 On a :
y=g'(0) x <=> y=16 e^4*0/(e^4*0 +1)² x
y=16*1/2² x
y=16/4 x Donc y=4x

On a le point M (∝;2) intersection de et de la tangente:
y=2
y=4x
2=4x donc x=2/4=0.5

L'abscisse ∝ est 0.5 ?


En tout cas une grand Mercii à vous deux de m'avoir aidé C'est adorable de votre part !

Oui c'est ca.