produit vectoriel

[invitee0e852f5]

bonjour a tous je suis en terminal S et j’aurais besoin d'un coup de main pour mon DM
on travaille dans l'espace
j'ai le vecteur u (3;-1;2) et le vecteur v ( -1;1;0)
w est le produit vectoriel de u et v qui est a calculer:
je trouve w(-2;-2;2)
ensuite je dois démonter que w est orthogonale a u et v ( c'est fait )
je dois calculer l'aire du parallélogramme de support les vecteur u et v
donc A=//u vectoriel v // ne connaissant pas l'ange (u;v) je dois utiliser directement la norme soit A=sqrt((-2)²+(-2)²+2²)=sqrt(12) = 2sqrt(3)
mais ensuit on me demande de comparer l'aire a la norme du vecteur w ( dois-je refaire le même calcule ou alors y a t'il une autre manière de faire le calcule précédent ?)

puis je dois démonter dans le cas générale que: les vecteur u et v sont colinéaires ssi u vectoriel v = vecteur nul
u vectoriel v est orthogonal a u et v
comment faire ces démo svp ?
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[Elwyr]

A mon avis, comme on te demande de comparer l'aire du parallèlogramme à la norme de w, tu ne dois pas du tout te servir de la propriété A = ||u vectorielle v|| (A moins que ce ne soit dans ton cours ? Il ne me semble pas qu'on parlait de produits vectoriels en terminale ?). Je ne suis pas d'accord avec toi, par contre : Tu as la norme de u et de v ainsi que leur produit scalaire (analytiquement), donc tu as la valeur du cosinus. Tu en déduis la valeur absolue du sinus, qui te permet de conclure sur l'aire du parallèlogramme.

Pour ce qui est de la dernière démonstration, un vecteur est nul si, et seulement si, sa norme est nulle. Si on t'a défini la norme du produit vectoriel, c'est gagné, si tu n'as que la définition analytique, c'est un peu plus long mais tu dois pouvoir te débrouiller en la calculant tout de même.

[invitee0e852f5]

oui tu as raison le produit vectoriel n'est pas au programme c'est juste un dm histoire de voir ce que c'est.
je sais que //u vectoriel v//= //u//*//v//*/sin(u;v)/

et u.v= //u// * //v// * /cos(u,v)/

donc /cos(u,v)/ = (u.v) / (//u//*//v//)

et sachant que sin(u,v)=1 / cos(u,v)

sin(u,v)= (//u//*//v//) / (u.v)
c'est sa ?

[Elwyr]

En écrivant sin(x) = 1 / cos(x), tu écris qu'un sinus est supérieur à 1, c'est faux. En fait, tu as sin²(x) = 1 - cos²(x), donc |sin(x)| = . Cela dit, tu étudies des aires positives, donc le sinus en valeur absolue te suffit.

Ta définition du scalaire est fausse, un scalaire est algébrique, donc la valeur absolue autour du cosinus n'a rien à faire là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0e852f5]

et pour la démo j'utilise donc: un vecteur est nul ssi sa norme est nul et je dit que pour que deux vecteur sois colinéaire l'angle qu'ils forme doit être nul donc je calcule la norme et vu que c'est un produit le norme est nul ?

et pour u vectoriel v est orthogonal a u et v un idée?

[Elwyr]

Tu avais dit que tu l'avais fait ? Calcule simplement les scalaires pour avoir ta condition d'orthogonalité.

[invitee0e852f5]

les scalaire avec w oui mais la c'est pour les démonstrations dans le cas général

[Elwyr]

Bah... comme tu as pu trouver les coordonées de w, produit vectoriel de u et v, je suppose que tu en as une expression analytique ? Si tu en as une expression analytique, tu l'appliques pour des vecteurs u et v de coordonnées quelconques... Et tu vois bien ce que ça donne ^^

[invitee0e852f5]

et pour les vecteur u et v sont colinéaires ssi u vectoriel v = vecteur nul j'utilise :un vecteur est nul ssi sa norme est nul et je dit que pour que deux vecteur sois colinéaire l'angle qu'ils forme doit être nul donc je calcule la norme et vu que c'est un produit le norme est nul

[invitee0e852f5]

j'ai suivi ce que tu m'a dit pour l'aire mais sa colle pas avec la norme de w
A=sqrt14
//w//=sqrt12

[Elwyr]

Pour ta norme, partir d'un bout et de l'autre et rejoindre au milieu, ça fait pas très propre... Pars tout simplement de "la norme de u vectorielle v est nulle", exprime cette norme en fonction de u et v, et conclus.

Pour l'aire, tu y fais une erreur de calcul. la norme de w est indiscutablement ( c'est , au fait), et en projetant ton vecteur v sur un vecteur orthogonal à u (pour avoir la norme de la hauteur) tu fais apparaître le sin(u,v) de la norme de w. Sans doute un problème dans le calcul du cosinus ou du sinus ?

[invitee0e852f5]

|sin(x)| =sqrt(1-(cos²x))
cos(u,v)= (u.v) / (//u//*//v//)
u.v = -4
//u//= sqrt15
//v//=sqrt2

cos(u,v)= -4/sqrt30

sin(u,v)= sqrt( 1-(-4/sqrt30)²)
= sqrt(30/30-16/30)
=sqrt(14/30)
//u vectoriel v // = //u// * //v// */sin(u,v)/
=sqrt30*sqrt(14/30)
=sqrt14

[Elwyr]

||u|| = sqrt(14) : 3² + 1² + 2² = 9 + 1 + 4 = 14.

[invitee0e852f5]

aieee oui c'est exacte