Suites - Terminale S

[invitec8d1794b]

Bonjour. J'aurais quelques petits soucis pour résoudre une question de mon exercice de Suites, devoir maison de Terminale S.

On considère la suite définie sur N par :

U_o = 4
U_n+1 = U_n + 2n + 5

1) Calculez les 6 premiers termes :
J'ai trouvé :
U₁ = 11
U₂ = 20
U₃ = 31
U₄ = 44
U₅ = 59
U₆ = 76

2) Conjecturez l'expression de U_n en fonction de n :
C'est ici que je bloque. J'ai remarqué qu'on rajoutait 7, puis 7+2, puis 7+4, etc.
Donc U_n = U_n-1 + 7 + 2(n-1)
Sauf que c'est pas en fonction de n, et pour calculer U₀, ça ne marche pas... Le plus difficile serait donc de donner l'expression de U_n-1 en fonction de n. Ce que je n'arrive malheureusement pas à faire.

Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement,
Valentin.
-----

[ansset]

U_o = 4
U_n+1 = U_n + 2n + 5

1) Calculez les 6 premiers termes :
J'ai trouvé :
U₁ = 11
U₂ = 20
U₃ = 31
U₄ = 44
U₅ = 59
U₆ = 76

2) Conjecturez l'expression de U_n en fonction de n :
C'est ici que je bloque. J'ai remarqué qu'on rajoutait 7, puis 7+2, puis 7+4, etc.
Donc U_n = U_n-1 + 7 + 2(n-1)
.

tu es allé un peu vite:
U(n+1)=U(n)+2n+5 , et U0=4
à chaque étape on rajoute 2n+5
U(1)=U(0)+2*0+5 = 9 et pas 11
U(2)=U(1)+2*1+5 = 16
U(3)=U(2)+2*2+5 = 23
donc effectivement à partir du rang 2 on ajoute 7 à chaque fois.
en détaillant on voit que pour n>=2
U(n)=U(1)+7*(n-1) avec U(1)=9

[Elwyr]

Bonjour !

Quand tu écris U_n = U_n-1 + 7 + 2 (n-1), tu ne fais que réécrire la définition qu'on te donne... Ajouter 7, en fait, c'est ajouter 5 + 2, et puis 5 + 4, etc. C'est effectivement une définition par récurrence, donc pour claculer U₀, c'est cuit.

Nan, y a plus simple... pour le conjecturer, calcule les premiers termes, en essayant de faire apparaître n tant que tu peux...
-> comme tu ajoutes 5 à chaque fois, tu vas te retrouver avec un 5*n.
-> pour le 2n, c'est un peu plus tordu... D'abord tu as 2*1, puis 2*2, puis 2*3... Pas de panique ! Ca fait 2(1+2+3+...), donc la double somme des n premiers entiers.

Y a plus qu'à démontrer ça par récurrence !

(Ansset, tu vas un peu vite... si j'applique ta relation pour par exemple n = 4, U₄ vaudrait 30, et ce n'est pas le cas.)

[ansset]

oups, désolé !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

je corrige immédiatement, pour n>=2
U(n)=U(1)+5*(n-1) + somme(2^k)(k de 1 à n-1 )

[invitec8d1794b]

Je trouve pas ton expression super top ansset x)
Merci à Elwyr pour m'avoir beaucoup mis sur la voie.
Mais j'aimerais une petite précision :

U_n = 4 + 2(0+...+n) + 5n [marche donc aussi avec 0 ! Enfin, je crois que c'était aussi le but ^^]

Bref, j'aimerais savoir si y a pas une façon plus "normalisée" d'écrire 2(0+...+n) ? (bon, on est d'accord que ça veut dire qu'à n=2, ça fait "2(0+1+2)")
Enfin, peut-être qu'on peut mettre ça comme ça, je sais pas, je trouve ça juste un peu bizarre de faire ça x)

Normalement après ça devrait aller pour faire la récurrence (j'espère ! C'est déjà pas mon genre de venir demander de l'aide sur des forums...).

Encore merci pour votre aide

[Elwyr]

Là, t'as deux solutions...

-> Le symbole est bien pratique pour écrire des sommes.
-> Ta somme, c'est pas n'importe laquelle, c'est la somme des n premiers entiers... Que tu peux considérer comme la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1. Il me semble que tu dois avoir une formule pour l'exprimer en fonction de n ?

Si ce n'est pas le cas, elle se redémontre assez facilement en l'écrivant dans un sens et dans l'autre (la somme, s'entend)... n + 1, n-1 + 2, n - 2 + 3... Et ce n fois. Y a plus qu'à diviser par deux pour retrouver la somme !

[ansset]

décidement j'écris pas mal de bétises aujour'hui doit avoir de la fièvre moi
mon equation est fausse.
1+2+3+....(n-1)+n ( somme des premiers entiers ) est connue.
pour la retrouver la formule on peut faire
S=1+ 2+ 3+...... +(n-1)+n mais aussi
S=n+(n-1)+(n-2) +......+ 2+ 1
en additonnant verticalement les membres dans leur ordre
2*S= (n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1). .... ( n fois )
S=(1/2)(n)(n+1)

[invitec8d1794b]

Merci beaucoup ! J'ai donc réussi. Merci pour votre aide, et de m'avoir donné un peu de votre temps. Bonne soirée à vous deux

[invitec8d1794b]

Je me permets de revenir pour venir corriger toutes nos erreurs...

U_n+1 = U_n + 2n + 5
Donc :

U₁ = 4 + 2*0 + 5 = 9
U₂ = 9 + 2*1 + 5 = 16
U₃ = 16 + 2*2 + 5 = 25
U₄ = 25 + 2*3 + 5 = 36
U₅ = 36 + 2*4 + 5 = 49

Donc U_n = (n+2)²

Récurrence :

Initialisation :
(0+2)² = 2² = 4 = U₀

Hérédité :
On suppose que U_n = (n+2)²

U_n+1 = U_n + 2n + 5
U_n+1 = (n+2)² + 2n + 5
U_n+1 = n² + 4n + 4 + 2n + 5
U_n+1 = n² + 6n + 9
U_n+1 = (n+3)²
U_n+1 = ( (n+1) +2)²

La propriété est héréditaire donc vérifiée.



Finalement, la première réponse de Ansset était sur la bonne voie, jusqu'à ce qu'il fasse une erreur de calcul ^^

Bref, bonne soirée !