DM Suites Terminale S

[inviteb89982b1]

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose un enorme probleme impossible de reussir a le faire Est ce quelqu'un aurait la gentillesse d'essaier de m'aider svp

voici l'intitulé :

on conidère (Un) definie pour tout n par U0=3 ; Un+1= Un + 2n - 1

A/ Calculer U1 et U2

U1=U0 + 2 x 0 - 1 = 2 ; U2 = U1 = 2 x 1 - 1 = 3


B/ On pose : P(n) = an² + bn + c où a,b et c sont trois réels
1 - Determiner a, b et c de façon à ce que P(0) = U0 ; P(1) = U1 ; P(2) = U2
2 - a b et c étant des valeurs trouvées à la question précédante, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , Un + p(n)


Donc habituellement je sais trouver les trois réels mais c'est quand je suis face à une fonction pas une suite ..
et question récurrence on vient de commencer le chapitre et jai pas tout comprit je pense
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[Zellus]

Bonsoir,

1 - Determiner a, b et c de façon à ce que P(0) = U0 ; P(1) = U1 ; P(2) = U2

Remplace P(n) par an² + bn + c et tu te retrouves simplement avec 3 équations à résoudre.
Par exemple, pour la première, tu as :
P(0) = U0
a x 0² + b x 0 + c = 3 (car U0 = 3)
donc tu trouves c = 3.
Je te laisse faire les suivantes pour lesquelles tu as déjà calculé U1 et U2.

2 - a b et c étant des valeurs trouvées à la question précédante, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , Un + p(n)

Il manque la fin de la question non ?

[inviteea028771]

2 - a b et c étant des valeurs trouvées à la question précédante, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , Un + p(n)

Il manque la fin de la question non ?

C'est probablement "montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un - P(n) = 0". En tout cas c'est la question qui a le plus de sens dans ce contexte

Pour ce faire, suppose que pour n, Un - P(n) = 0, puis exprime Un+1 - P(n+1) en fonction de Un et P(n)

[inviteb89982b1]

Bonjour donc j'ai suivi votre exemple et je suis arrivé avec
a + b = -1
et 4a + 2b = 0

donc pour determiner a et b j'ai fais :
b = -1-a
4a + 2(-1-a) = 0
4a + (-2) + (-2a)= 0
donc 2a - 2 = 0
et a = 1 et pour trouver b i suffit de remplacer a par sa valeur
a + b = -1
donc b = -1-1 = -2

je pense avoir bon jusqu'ici ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb89982b1]

et pour la question je n'es pas fait d'erreur c'est bien
a b et c étant des valeurs trouvées à la question précédante, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , Un + p(n)

Mon prof a dit pour mieux comprendre dites-vous Q(n) la propriété Un = Pn ...
Ce qui ne m'avance pas !

pour l'instant je déduis que P(n) = n² + (-2)n + 3

[inviteb89982b1]

En m'aidant de mon cours ( que je n'ai pas compis) j'arive à cela : est ce correct ?

Montrer que pour tout n , Un = P(n)

initialisation : Pour n=0 ; on a U0 = p(0) donc Q(n) est vraie.
hérédité : Supposons que Q(n) soit vraie pour tout n ( c'est à dire Un = P(n) ) On a donc Un = P(n)
Montrons que Q(n+1) est vraie
si Un = P(n)
alors Un+1 = P(n+1) : U1 = p(1)
et Q(n+1) est vérifiée
conclusion : Par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n>O c'est à dire que Un=P(n) pour tout n.

[inviteea028771]

Tu n'as pas montré ceci, tu l'as juste affirmé :

"si Un = P(n)
alors Un+1 = P(n+1) "

Il faut que tu calcules Un+1 - P(n+1) pour le prouver

[inviteb89982b1]

Ah bon ? On n'a pas montré que Un=P(n) lorsqu'on a calculé a b et c ? comme on dit P(0)= U0 p(1)=1 P(2)=2
parce que je sais pas comment on fait pour calculer Un+1 - P(n+1)