Terminale S , montrer qu'une équation n'a pas de solution

inviteaae4fe45 · 14/11/2011, 18h32

Bonjour à tous

Voilà , j'ai un exercice , qui donne l'équation x⁴+x³-x+1=0

On nous demande de montrer que cette équation n'a pas de solution , j'ai donc pensé à la dériver , ne trouvant pas de racines évidentes , mais cela ne m'a mené à rien .

Si quelqu'un pouvait m'aider , je lui en serais reconnaissant , merci d'avance

invite8ab5fa54 · 14/11/2011, 18h36

Essaie la dérivée de la dérivée

inviteaae4fe45 · 14/11/2011, 18h38

Oui j'ai essayé , mais ça n'a rien donné , j'ai trouvé un delta positif donc après j'ai essayé de remonter jusqu'à trouver le sens de variation de la 1ère fonction mais je n'ai pas réussi à montrer qu'elle ne vaut jamais 0

invite8ab5fa54 · 15/11/2011, 05h23

Tu devrais diviser ton étude sur plusieurs intervalles . Essaie de montrer que la fonction n'est pas égale à 0 dans l'intervalle ]- l'infini ; 0 [ , puis sur un autre intervalle etc ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Duke Alchemist** · 15/11/2011, 08h26

Bonjour.

La dérivée seconde (qui s'annule en -1/2 et 0) permet de déterminer les variations de la dérivée.
Les valeurs de f(-1/2) et de f(0) sont toutes deux négatives (resp. -3/4 et -1).
En vertu du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$

A partir de là, deux inconvénients :
* déterminer $\text{[math]}$ ("à la main")
* montrer que $\text{[math]}$ (il n'est pas bien difficile de montrer que c'est un minimum à partir de la dérivée)

En gros, je ne t'avance pas beaucoup...

Duke.

**ansset** · 15/11/2011, 15h53

bonjour ,je prolonge Duke et les autres
en étudiant la dérivée seconde, on a une bonne idée de f' soit
f' -> -oo en -oo et f->+oo en -oo
f"(x) =0 en -1/2 et 0 ou f' admet donc des extremas
avec f'(-1/2)=-3/4 et f'(0)=-1
iln'y a donc qu'entre [-1/2;0] que f' est décroissante et elle est tj négative quand x<0
ensuite de [0;+oo[ f' est croissante

or si on revient à f :
f(0)=1 avec f'(0)=-1
f(1)=2 avec f'(1)=6
donc f' ( croissante ) s'annulle une fois seulment et entre 0 et 1, disons en a
f admet un minimum en a appartenant ]0;1[

la tangente de f en 0 est T(x)=1-x (voir f(0) et f'(0))
comme f' est croissante on a
f(0)=T(0) et
pour tout x ds ]0;1[ f(x)>T(x)=1-x
donc f(a)>1-a>0 ( car a<1 )

donc f (x) =0 n'a pas de solution !

invite6cf1de63 · 15/11/2011, 16h54

Envoyé par ansset

donc f' ( croissante ) s'annulle une fois seulment et entre 0 et 1, disons en a
f admet un minimum en a appartenant ]0;1[

la tangente de f en 0 est T(x)=1-x (voir f(0) et f'(0))
comme f' est croissante on a
f(0)=T(0) et
pour tout x ds ]0;1[ f(x)>T(x)=1-x
donc f(a)>1-a>0 ( car a<1 )

Bonjour,
pour cette partie il y a plus simple, dès lors qu'on prouve par l'étude de la dérivée que P atteint son minimum en $\text{[math]}$ , on en déduit que ce minimum est $\text{[math]}$ en tant que somme de quantités strictement positives.

**danyvio** · 15/11/2011, 18h23

J'ai essayé une méthode ne faisant pas appel aux dérivées : je considère que le polynome en x⁴= le produit de deux polynomes en x²:

x⁴+x³-x+1=(x²+bx+c)(x²+b'x+c')=x⁴+(b+b')x³+(c+c'+bb')x²+(c+c')x+cc'
Par analogie avec le polynome de dégré 4, on doit avoir :

A) c+c'=-1 d'où c'=-1-c
B) cc'=1 d'où c'=1/c

Résoudre : (-1-c)=(1/c) ou encore 1/c+1+c=0 ou encore (c ne pouvant être nul) : 1+c+c²=0

impossible ..
Me suis-je trompé ?

**ansset** · 15/11/2011, 18h28

exact, et c'est plus naturel !
(mais bon y'a quand même pas de gros calcul avec la tangente )

invite427a7819 · 15/11/2011, 21h17

Danyvio, tu fais une erreur quand tu redéveloppes ton produit : tu dois en fait avoir (bc'+b'c)x.

Je ne pense pas qu'on puisse échapper à la résolution du système de quatre équations à quatre inconnues si on emploie ta méthode.

**zyket** · 15/11/2011, 22h29

Bonsoir,

je propose une autre solution sans passer par les dérivées.

Pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$
de plus pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$
d'où $\text{[math]}$ comme somme de termes strictement positifs
d'où $\text{[math]}$
Donc pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ or pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ comme somme de deux termes strictement positifs.
Donc pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ or pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
Or pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ comme somme de deux termes strictement positifs.
Donc pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ comme somme de deux termes positifs dont un strictement.
D'où $\text{[math]}$
Donc pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

On a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Conclusion : pour tout réel on a $\text{[math]}$ donc l'équation $\text{[math]}$ n'admet aucune solution dans l'ensemble des réels.

**danyvio** · 16/11/2011, 07h19

Envoyé par Elwyr

Danyvio, tu fais une erreur quand tu redéveloppes ton produit : tu dois en fait avoir (bc'+b'c)x.

Je ne pense pas qu'on puisse échapper à la résolution du système de quatre équations à quatre inconnues si on emploie ta méthode.

Indeed !

je vais tout de même persister dans cette voie gérée à la va-vite de ma part .

**ansset** · 16/11/2011, 09h21

Envoyé par ansset

exact, et c'est plus naturel !
(mais bon y'a quand même pas de gros calcul avec la tangente )

je repondais à croux bien sur !

**ansset** · 16/11/2011, 09h27

Envoyé par zyket

Bonsoir,

je propose une autre solution sans passer par les dérivées.

Pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ or $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ or pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ comme somme de deux termes strictement positifs.
Donc pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Pour tout $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ or pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
Or pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ comme somme de deux termes strictement positifs.
Donc pour tout $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
......

les deux assertions ( en gras ) sont fausses !

invite1445654e · 16/11/2011, 09h44

Bonjour à tous j'ai trouvé une méthode de résolution d'ordre 4 peut être qu'elle peut aider notre jeune ami
http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=equa4degre

**invite9c9b9968** · 16/11/2011, 10h32

Bonjour,

Je vous propose aussi une autre solution accessible au niveau collège, similaire dans l'idée à d'autres présentées ici (découpage de l'analyse en plusieurs domaines).

On part de l'équation $\text{[math]}$

L'idée est de profiter au maximum du fait que certaines expressions ont un signe déterminé.

Étape 1 :

Donc ici : $\text{[math]}$

A gauche, quelle que soit la valeur de x, $\text{[math]}$ est toujours positif. Il faut donc, pour satisfaire l'égalité, avoir à droite une expression positive (strictement). Or dès que l'on a $\text{[math]}$ , ce n'est pas le cas : nécessairement pour avoir une solution, il faut au moins $\text{[math]}$ .

Étape 2 :

On prend le cas $\text{[math]}$ . On change de variable en posant y = -x, donc avec x négatif, y est positif. L'équation se réécrit, avec y, en $\text{[math]}$ . Manifestement, cette équation n'a absolument aucune solution, puisque à gauche du signe égal on a une expression toujours supérieure ou égale à 1.

Donc si x est solution de l'équation, nécessairement $\text{[math]}$

Étape 3 :

Cette fois on prend donc x dans l'intervalle ] 0 ; 1 [ et on pose y=1-x. De la même manière, y est dans l'intervalle ] 0 ; 1 [

Alors on a, avec y, l'équation $\text{[math]}$ c'est-à-dire $\text{[math]}$

Donc en réécrivant : $\text{[math]}$ , ou encore $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , par contre $\text{[math]}$ . Donc l'égalité ci-dessus ne peut pas être vérifiée pour y dans ]0 ; 1 [

Conclusion : il n'y a pas de solutions réelles à l'équation étudiée.

Cordialement,

G.

**ansset** · 16/11/2011, 14h29

Envoyé par Gwyddon

Étape 2 :

On prend le cas $\text{[math]}$ . On change de variable en posant y = -x, donc avec x négatif, y est positif. L'équation se réécrit, avec y, en $\text{[math]}$ . Manifestement, cette équation n'a absolument aucune solution, puisque à gauche du signe égal on a une expression toujours supérieure ou égale à 1.

petite erreur x^4 + x^3 -x + 1 = y^4 -y^3 +y + 1

**zyket** · 16/11/2011, 17h33

Bonjour,

@Ansett

si mes deux propositions en gras sont fausses peux-tu donner un contre exemple ?

J'avais cru justement le démontrer avec les lignes précédant ces propositions, mais je ne vois pas où serrait mon erreur de démonstration ?

Merci

**ansset** · 16/11/2011, 19h07

Envoyé par zyket

Bonjour,

@Ansett

si mes deux propositions en gras sont fausses peux-tu donner un contre exemple ?

J'avais cru justement le démontrer avec les lignes précédant ces propositions, mais je ne vois pas où serrait mon erreur de démonstration ?

Merci

mille excuses !
soit indulgent , j'ai lu ton post en lisant partout f' au lieu de f.

**invite9c9b9968** · 16/11/2011, 19h31

Bonsoir,

Merci anset, effectivement une petite erreur stupide qui se glisse dans l'étape 2

Du coup reprenons l'étape 2, et divisons-là en 2' et 2bis, toujours avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Étape 2' :

On réécrit l'équation $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$

On se concentre maintenant sur le cas $\text{[math]}$

Dans ce cas $\text{[math]}$ , et donc ayant $\text{[math]}$ on a a fortiori $\text{[math]}$ : l'équation ne peut certainement pas être vérifiée.

Ceci implique nécessairement $\text{[math]}$ .

Étape 2bis :

On étudie maintenant le cas $\text{[math]}$ . On réécrit l'équation :
$\text{[math]}$

On utilise l'identité remarquable $\text{[math]}$ , ce qui donne $\text{[math]}$

Or à gauche de cette dernière égalité, on a $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . Par contre à droite du signe égal il est manifeste que l'on a un terme négatif.

Ainsi, cette équation n'a pas non plus de solution dans l'intervalle $\text{[math]}$ .

Conclusion :

En combinant les deux étapes 2' et 2bis, l'équation n'a pas de solution pour $\text{[math]}$ , c'est-à-dire $\text{[math]}$ .

Cordialement,

G.

**invite9c9b9968** · 24/11/2011, 10h36

Bonjour,

Je me permets de remonter ce fil de discussion juste pour dire qu'il est bien dommage que l'initiateur de la discussion ne prenne même pas le temps de revenir remercier les divers contributeurs... Cela me semble être un strict minimum !

Terminale S , montrer qu'une équation n'a pas de solution

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Re : Terminale S , montrer qu'une équation n'a pas de solution

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