Dérivation

[invite92d3c4a7]

Salut tout le monde, j'ai un DM à faire et je suis un peu coincée... Voici l'énoncé :

"On considère un point M mobile sur la parabole d'équation y=x^2. La tangente en M à la parabole coupe l'axe Oy en T. La perpendiculaire à cette tangente M coup l'axe Oy en P. On appelle I le milieu de TP.
Construire une figure dynamique sur Géogebra et observer les déplacements de I quand M parcourt la parabole.

Démonstration : On choisit M d'abscisse 1. Déterminer l'équation de la tangente et les coordonnées du point T. Déterminer l'équation de la perpendiculaire et les coordonnées du point P. En déduire les coordonnées de I.
On choisit M d'abscisse a. Mêmes questions."

J'ai tout d'abord vu que I ne bougeait pas. Puis j'ai fait les calculs avec M d'abscisse 1. J'ai trouvé l'équation de la tangente : y=2x-1, par conséquent T(0;-1). J'ai ensuite calculé l'équation de la perpendiculaire : y=-1/2x+3/2, par conséquent P(0;-3/2). Finalement, I(0;1/4).
En choisissant n'importe quelle valeur d'abscisse de M, on trouve I(0;1/4). C'est ce qu'il faut ensuite démontrer avec a.
J'ai donc trouvé l'équation de la tangente : y=2ax-a^2, par conséquent T(0;-a^2). C'est après que je coince, pour trouver l'équation de la perpendiculaire, les coordonnées du point P et celles du point I(0;1/4).

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ??
Merci d'avance
Spouitch
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[invite92d3c4a7]

Par pitié, aidez-moi !!

Même si vous ne savez pas exactement, juste des éléments de réponse !!

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

C'est bizarre que tu ne trouves pas pour le cas général...
Comment as-tu trouvé l'équation de la perpendiculaire dans le cas particulier ?
Parce que le procédé doit être le même que celui que tu as utilisé...

Duke.

[invite92d3c4a7]

Bonsoir,
et bien, l'équation de la perpendiculaire est -1/a dans le cas particulier, ce qui donne -1/2 pour M avec 2, donc y=-1/2x+3/2.
Donc pour le cas général, ça devrait me donner y=(-1/2ax)+b mais après, lorsque je cherche le point P, je ne trouve pas I(0;1/4)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Il te faut déterminer b à l'aide du fait que cette perpendiculaire passe par M(a;a²).

Une fois b déterminé, cela devient évident.

Duke.

[invite92d3c4a7]

J'ai donc trouvé que y=2ax-a^2 et que T(0;-a^2).
Donc l'équation de la perpendiculaire est : y=(-1/2ax)x+b, alors b=-1-a^2. Ainsi, y=(-1/2ax)x-1-a^2 et P(0;-1-a^2).
Mais après, ça ne marche pas !! C'est tout faux !!

[Duke Alchemist]

Re-

Pour b, je n'obtiens pas ça...

 Cliquez pour afficher

L'équation de la perpendiculaire passe par M donc on a : d'où b = ...

Duke.

[invite92d3c4a7]

b=(-1/2a)a-a^2 donc b=2-a^2 ??
Alors y= (-1/2a)+2-a^2 ??

[Duke Alchemist]

Re-

Tu me fais peur là...
Peux-tu isoler b correctement stp ?

Duke.

[invite92d3c4a7]

euh...
b=(-1/2a)+a^2 ??
Je suis désolée, je suis trop nulle

[Duke Alchemist]

Bon ben j'ai vraiment peur...

 Cliquez pour afficher

Duke.

[invite92d3c4a7]

D'accord... J'ai vraiment intérêt de revoir les bases...
Donc on a (et grâce à ton aide) b=a^2+1/2
Ainsi, y=(-1/2a)x+a^2+1/2 donc P(0;a^2+1/2)
Et en reprenant T(0;-a^2), il ne reste plus qu'à trouver I.
Je vais donc le chercher.

[invite92d3c4a7]

J'AI TROUVÉ !!! Pour calculer y(I), on fait (y(T)+y(P))/2, ce qui va donner (a^2+1/2-a^2)/2, et ça me donne bien 1/4 !!!!
C'est bien ça au moins ?!?

[Duke Alchemist]

C'est bien ça

[invite92d3c4a7]

C'est super !!
Je n'aurai jamais pu trouver sans ton coup de main et ton explication, je te remercie beaucoup !!
Et je te remercie aussi de ne pas m'avoir donné la réponse tout de suite mais de m'avoir poussé à chercher toute seule...
Merci encore beaucoup !!

Spouitch