Polynome de degrés 3

[invitee14a94dc]

Bonjour,
J'ai un polynome P(X)=(1/3)x^3-(1/2)x^2+(1/2)x
Donc:il faut que je démontre que pour tout entier n>1, 1^2+2^2+...+n^2=P(n+1)
puis en déduire que: 1²+2²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6

S'il vous plais, je suis a cour d'inspiration
-----

[inviteaf48d29f]

Bonjour

pour tout entier n>1, 1^2+2^2+...+n^2=P(n+1)

Cette ligne là est fausse pour n=2 ainsi que pour n=3 et probablement pas mal d'entiers plus grand (j'en ai testé que deux ^^). A mon avis il y a une erreur d'énoncé. Une erreur de recopiage peut-être ?

En tout cas la conclusion "1²+2²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6" est juste elle. Du moins je crois, ça dépend de si mes souvenirs sont bons ou non.

[invitee14a94dc]

bin pourtant, c'est écrit ça mot pour mot dans l'énoncé du dm
autrement, tu peux essayer de m'expliquer le raisonnement stp?

[invite4492c379]

Hello,


je pense que l'exercice serait faisable avec


si je ne me trompe pas ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee14a94dc]

ouai, excusé moi, faute de frappe, par contre je vois toujours pas le raisonnement

[invite4492c379]

Dès que tu vois une énoncé de la forme

démontre que pour tout entier n>1, 1^2+2^2+...+n^2=P(n+1)

tu dois penser ... raisonnement par récurrence

Initialisation : Est-ce vrai pour n=2 ?
Récurrence : Si c'est vrai jusqu'à n (c'est à dire 1²+...+n²=P(n+1)) est-ce vrai pour pour n+1 (a-t-on 1²+...+(n+1)²=P((n+1)+1)) ?

[inviteaf48d29f]

Dans ces cas là, en général il faut faire une récurrence. C'est d'ailleurs pour ça que je vous ai dit que c'était faux pour n=2, j'avais tenté d'initialiser une récurrence.
Pour initialiser la récurrence on calcul 1²+2² d'un coté et P(2+1) d'un autre. Si on tombe sur 5 dans les deux cas c'est bon, on peut passer à l'hérédité. Sinon, c'est pas la peine de passer à l'hérédité du tout.

[invitee14a94dc]

Je suis désolé, mais je vois toujours pas

[invitee14a94dc]

Donc si je fais le raisonnement,
P(2+1)=(1/3)(2+1)^3-(1/2)(2+1)^2+(1/6)(2+3)=5 donc ça marche

Donc pour obtenir avec P(1+2+3+n) je fais (1/3)(1+2+3+n)^3-(1/2)(1+2+3+n)^2+(1/6)(1+2+3+n) et je doit obtenir n^2+1??

Est ce que vous pouvez m'expliquer la seconde parti aussi svp