Nombres complexes et géométrie dans le plan

[invite489d2c5c]

Bonjour

z1 = -i et z2 = 3+3i

1 Déterminer la forme algébrique du nombre z1/z2

2 Déterminer les formes trigonométriques des nombres z1 et z2

3 En déduire la forme trigonométrique de z1/z2

4 En déduire la valeur exacte de cos(7\pi / 12) et sin (7 \pi / 12)

Merci de votre aide .

Pour la 1, dois je calculer séparément la forme algébrique de z1 puis z2 et ensuite les diviser ?
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
Pour la 1, dois je calculer séparément la forme algébrique de z1 puis z2 et ensuite les diviser ?

1. Ils sont déjà sous leur forme algébrique.

Tu exprimes z1/z2 et tu dois obtenir une forme A+iB avec A et B réels. Tu penseras (encore ) à multiplier au numérateur et au dénominateur par le conjugué de z2...

2. Il te faut calculer les modules et factoriser par celui-ci pour obtenir une forme (dans la parenthèse) qui te permettra de déduire les arguments de chacun d'eux...

3. rapport des modules et différence des arguments.

4. Vue la question, il serait bien de trouver du 7pi/12 au 3.

Duke.

[invitec8e03ff9]

Reponse a votre question il ne faut jamais calculer séparément Z1 et Z2 car les deux formes donnés sont algebriques essayer de multiplier Z2 et Z1 par la partie conjugée de Z2 (Z2bar = 3rac(3) - 3i) dans l'expression Z1/Z2 ;on trouve aprés simplification Z1/Z2=[(rac(6)-rac(2) )- i( rac(6) + rac(2) ]/12 remarque :rac = racine carré de )
les formes géometriques sont Z1 = 2( cos(-pi/4) +i sin(-pi/4) ) et Z2 = 6 (cos(pi/6) +i sin (pi/6) ) argument de Z1/Z2 =arg(Z1) - arg(Z2) = -5pi/12 module de Z1/Z2 = module de Z1/module de Z2= 1/3 ;donc Z1/Z2 = 1/3(cos(-5pi/12)+ i sin(-5pi/12) ) aprés identifications on trouve que cos(5pi/12)=cos(-5pi/12)=(rac(6) - rac(2) )/4 et sin (5pi/12)=-sin(-5pi/12)=(rac(6)+rac(2) )/4 sachant que cos (pi -x)= -cos(x) et sin (pi- x) =sin (x) remarque ( 7pi/12 = pi - 5pi /12 ) et je vous laisse la conclusion

[invite489d2c5c]

Pour la question 1 je trouve : ( (3-3i)+(-3-3i)) / 36

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8e03ff9]

mais 3 en facteur pour la simplifier aprés et n'oublier pas de maitre votre résultat sous forme de X +i Y

[invite489d2c5c]

(3-3i)(-) / 36
= (1-i)(- )/ 12
=- + i (+)/ 12

Est ce correcte ?

[invitec8e03ff9]

non c'est pas correct
au lieu de +i c'est - i

[invitec8e03ff9]

essayer encore

[invite489d2c5c]

Pour la question 3 je n'ai pas tous compris ...

[invitec8e03ff9]

voir votre cours formes trigonometriques du quotient de deux nombres complexes

[invite489d2c5c]

Oui c'est Arg(z1) - arg (z2) donc ici arg(\pi /4) - arg ( \pi / 6) mais comment résoudre ?

[invitec8e03ff9]

c'est (-pi/4)-(pi/6) et non pas arg(-pi/4)-arg(pi/6)

[invite489d2c5c]

= pi / 12 ?

[invitec8e03ff9]

(-pi/4) - (pi/6) = (-5pi/6)

[invitec8e03ff9]

je m'excuse une faute de frappe (-pi/4) - pi/6 = (-5pi/12)

[invite489d2c5c]

Pourquoi - pi / 4 ? Moi j'ai pi / 4 ..

[invite489d2c5c]

J'ai refais et je trouve encore pi/ 4 et non -pi / 4

[invite489d2c5c]

Quelqu'un pour m'aider s'il vous plait ?

[invited9b9018b]

Avec :

on a :

donc :
(en ne considérant que la valeur de arg(z1) la plus proche de 0 bien sur)

Cela s'observe bien sur un cercle trigo dans un repère orthonormé : tous les points d'affixe z = a+bi avec b < 0 seront en dessous de l'axe des abscisses, et correspondront à un angle compris entre 0 et -pi (toujours si tu considères uniquement l'intervalle [-pi;pi]
En conséquence tu peux utiliser une petite technique pour trouver la bonne valeur d'angle : prendre le cosinus inverse de a/|z|, puis lui appliquer le signe de b.
Pour revenir à ton exemple, z1 s'écrit sous la forme algébrique z1 = a+bi avec donc

[invite489d2c5c]

Oula , je n'ai pas compris du tous votre démonstration ...

[invited9b9018b]

en effet, j'ai reformaté mon post (il y avait des erreurs de syntaxe latex) ça devrait être plus clair :P

[invite489d2c5c]

Mais pour quelle question est ce ?

[invitec8e03ff9]

si c'est pi/4 alors Z1 = rac(2) + i rac (2 ) qui n'est pas le cas donc refait les calculs attentivement

[invite489d2c5c]

non c'est pas correct
au lieu de +i c'est - i

Donc --i(+) / 12 ?

[invite489d2c5c]

Pour z1 on a cos téta : /2 et sin téta : /2 donc téta = pi/4 non ?

[invitec8e03ff9]

Z1 = rac(2) - i eac(2) donc module de Z1 = 2 alors cos(téta) = rac(2)/2et sin(téta) = - rac(2)/2 d'ou arg(Z1) = -pi/4

[invite489d2c5c]

3- la forme trigonométrique est -5pi/12 (2pi)

4- Comment je fais ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Reprenons l'ensemble de l'exo.
On te donne deux complexes sous leur forme algébrique (z=a+ib).

1. On te demande le rapport de ces deux complexes sous la forme algébrique.
Après quelques calculs, on arrive à :

 Cliquez pour afficher

qu'on pourra écrire sous la forme

2. Les formes trigonométriques des deux complexes proposés ( avec et )
Quelles expressions trouves-tu ?

3. Le rapport s'écrira sous la forme ... (sauf erreur de ma part)

4. Il n'y a plus qu'à comparer les expressions obtenues au 2. et au 3.

Duke.

[invite489d2c5c]

2- z1 = 2(cos(-pi/4) + i sin (-pi/4))
z2 = 6(cos (pi/6)+i sin (pi/6))

3- pour la forme trigo j'ai : z1/z2 = arg(z1)- arg(z2) = -pi/4 - pi/6 = -5pi/12

[Duke Alchemist]

Re-

2- z1 = 2(cos(-pi/4) + i sin (-pi/4))
z2 = 6(cos (pi/6)+i sin (pi/6))

OK

3- pour la forme trigo j'ai : z1/z2 = arg(z1)- arg(z2) = -pi/4 - pi/6 = -5pi/12

Cette réponse est incomplète en plus d'être mal écrite.
On a :
|z1|/|z2|=1/3 (parce que le module du rapport est égal au rapport des modules)
arg(z1/z2) = arg(z1)-arg(z2) = -5pi/12.

Ainsi, z1/z2 = 1/3 (cos(-5pi/12) + i sin(-5pi/12))
Remarque que -5pi/12 = 7pi/12 - pi... Cela peut s'avérer utile pour la fin de l'exercice

Duke.