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Nombres complexes et géométrie dans le plan



  1. #1
    zoultaka

    Nombres complexes et géométrie dans le plan


    ------

    Bonjour

    z1 = -i et z2 = 3+3i

    1 Déterminer la forme algébrique du nombre z1/z2

    2 Déterminer les formes trigonométriques des nombres z1 et z2

    3 En déduire la forme trigonométrique de z1/z2

    4 En déduire la valeur exacte de cos(7\pi / 12) et sin (7 \pi / 12)

    Merci de votre aide .

    Pour la 1, dois je calculer séparément la forme algébrique de z1 puis z2 et ensuite les diviser ?

    -----

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Bonjour.
    Citation Envoyé par zoultaka Voir le message
    ...
    Pour la 1, dois je calculer séparément la forme algébrique de z1 puis z2 et ensuite les diviser ?
    1. Ils sont déjà sous leur forme algébrique.

    Tu exprimes z1/z2 et tu dois obtenir une forme A+iB avec A et B réels. Tu penseras (encore ) à multiplier au numérateur et au dénominateur par le conjugué de z2...

    2. Il te faut calculer les modules et factoriser par celui-ci pour obtenir une forme (dans la parenthèse) qui te permettra de déduire les arguments de chacun d'eux...

    3. rapport des modules et différence des arguments.

    4. Vue la question, il serait bien de trouver du 7pi/12 au 3.

    Duke.

  4. #3
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Reponse a votre question il ne faut jamais calculer séparément Z1 et Z2 car les deux formes donnés sont algebriques essayer de multiplier Z2 et Z1 par la partie conjugée de Z2 (Z2bar = 3rac(3) - 3i) dans l'expression Z1/Z2 ;on trouve aprés simplification Z1/Z2=[(rac(6)-rac(2) )- i( rac(6) + rac(2) ]/12 remarque :rac = racine carré de )
    les formes géometriques sont Z1 = 2( cos(-pi/4) +i sin(-pi/4) ) et Z2 = 6 (cos(pi/6) +i sin (pi/6) ) argument de Z1/Z2 =arg(Z1) - arg(Z2) = -5pi/12 module de Z1/Z2 = module de Z1/module de Z2= 1/3 ;donc Z1/Z2 = 1/3(cos(-5pi/12)+ i sin(-5pi/12) ) aprés identifications on trouve que cos(5pi/12)=cos(-5pi/12)=(rac(6) - rac(2) )/4 et sin (5pi/12)=-sin(-5pi/12)=(rac(6)+rac(2) )/4 sachant que cos (pi -x)= -cos(x) et sin (pi- x) =sin (x) remarque ( 7pi/12 = pi - 5pi /12 ) et je vous laisse la conclusion

  5. #4
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Pour la question 1 je trouve : ( (3-3i)+(-3-3i)) / 36

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    mais 3 en facteur pour la simplifier aprés et n'oublier pas de maitre votre résultat sous forme de X +i Y

  8. #6
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    (3-3i)(-) / 36
    = (1-i)(- )/ 12
    =- + i (+)/ 12

    Est ce correcte ?

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  10. #7
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    non c'est pas correct
    au lieu de +i c'est - i

  11. #8
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    essayer encore

  12. #9
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Pour la question 3 je n'ai pas tous compris ...

  13. #10
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    voir votre cours formes trigonometriques du quotient de deux nombres complexes

  14. #11
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Oui c'est Arg(z1) - arg (z2) donc ici arg(\pi /4) - arg ( \pi / 6) mais comment résoudre ?

  15. #12
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    c'est (-pi/4)-(pi/6) et non pas arg(-pi/4)-arg(pi/6)

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  17. #13
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    = pi / 12 ?

  18. #14
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    (-pi/4) - (pi/6) = (-5pi/6)

  19. #15
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    je m'excuse une faute de frappe (-pi/4) - pi/6 = (-5pi/12)

  20. #16
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Pourquoi - pi / 4 ? Moi j'ai pi / 4 ..

  21. #17
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    J'ai refais et je trouve encore pi/ 4 et non -pi / 4

  22. #18
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Quelqu'un pour m'aider s'il vous plait ?

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  24. #19
    lucas.gautheron

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Avec :

    on a :

    donc :
    (en ne considérant que la valeur de arg(z1) la plus proche de 0 bien sur)

    Cela s'observe bien sur un cercle trigo dans un repère orthonormé : tous les points d'affixe z = a+bi avec b < 0 seront en dessous de l'axe des abscisses, et correspondront à un angle compris entre 0 et -pi (toujours si tu considères uniquement l'intervalle [-pi;pi]
    En conséquence tu peux utiliser une petite technique pour trouver la bonne valeur d'angle : prendre le cosinus inverse de a/|z|, puis lui appliquer le signe de b.
    Pour revenir à ton exemple, z1 s'écrit sous la forme algébrique z1 = a+bi avec donc
    Dernière modification par lucas.gautheron ; 12/12/2011 à 19h16.

  25. #20
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Oula , je n'ai pas compris du tous votre démonstration ...

  26. #21
    lucas.gautheron

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    en effet, j'ai reformaté mon post (il y avait des erreurs de syntaxe latex) ça devrait être plus clair :P

  27. #22
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Mais pour quelle question est ce ?

  28. #23
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    si c'est pi/4 alors Z1 = rac(2) + i rac (2 ) qui n'est pas le cas donc refait les calculs attentivement

  29. #24
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Citation Envoyé par 3omda24 Voir le message
    non c'est pas correct
    au lieu de +i c'est - i
    Donc --i(+) / 12 ?

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  31. #25
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Pour z1 on a cos téta : /2 et sin téta : /2 donc téta = pi/4 non ?

  32. #26
    3omda24

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Z1 = rac(2) - i eac(2) donc module de Z1 = 2 alors cos(téta) = rac(2)/2et sin(téta) = - rac(2)/2 d'ou arg(Z1) = -pi/4

  33. #27
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    3- la forme trigonométrique est -5pi/12 (2pi)

    4- Comment je fais ?

  34. #28
    Duke Alchemist

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Bonsoir.

    Reprenons l'ensemble de l'exo.
    On te donne deux complexes sous leur forme algébrique (z=a+ib).

    1. On te demande le rapport de ces deux complexes sous la forme algébrique.
    Après quelques calculs, on arrive à :
     Cliquez pour afficher


    2. Les formes trigonométriques des deux complexes proposés ( avec et )
    Quelles expressions trouves-tu ?

    3. Le rapport s'écrira sous la forme ... (sauf erreur de ma part)

    4. Il n'y a plus qu'à comparer les expressions obtenues au 2. et au 3.

    Duke.

  35. #29
    zoultaka

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    2- z1 = 2(cos(-pi/4) + i sin (-pi/4))
    z2 = 6(cos (pi/6)+i sin (pi/6))

    3- pour la forme trigo j'ai : z1/z2 = arg(z1)- arg(z2) = -pi/4 - pi/6 = -5pi/12

  36. #30
    Duke Alchemist

    Re : Nombres complexes et géométrie dans le plan

    Re-
    Citation Envoyé par zoultaka Voir le message
    2- z1 = 2(cos(-pi/4) + i sin (-pi/4))
    z2 = 6(cos (pi/6)+i sin (pi/6))
    OK

    3- pour la forme trigo j'ai : z1/z2 = arg(z1)- arg(z2) = -pi/4 - pi/6 = -5pi/12
    Cette réponse est incomplète en plus d'être mal écrite.
    On a :
    |z1|/|z2|=1/3 (parce que le module du rapport est égal au rapport des modules)
    arg(z1/z2) = arg(z1)-arg(z2) = -5pi/12.

    Ainsi, z1/z2 = 1/3 (cos(-5pi/12) + i sin(-5pi/12))
    Remarque que -5pi/12 = 7pi/12 - pi... Cela peut s'avérer utile pour la fin de l'exercice

    Duke.

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