bonjour ,
Jai un dm de math sur la fonction exponentielle a rendre pour la rentrée et je bloque sur une question:
soit g(x)= e^x-1/e^x-x
calculer la dérivée de g
g'(x)= (e^x*e^x-x)-(e^x-1*e^x-1)/(e^x-x)²
mais après je suis bloqué car il faut que j étudie les variations de g et pour cela il ne faut pas que je laisse la dérivée sous cette forme ..
voila en espérant avoir de vos réponses.
Bonjour,
tout d'abord on parle bien de
Si c'est le cas tu as très bien commencé à dériver (quoi qu'il manque des parenthèses). Développe ton numérateur. Que trouves-tu ?
Dernière modification par zyket ; 21/12/2011 à 19h28.
ça commence mal ! Si je me trompe en recopiant l'énoncé
On a bien, n'est ce pas ?
Une remarque : mets des parenthèses pour lever toute ambiguïté sur les formules. Il y a plusieurs façons de lire ton énoncé.
<indication :le dénominateur est toujours > 0 (sauf pour une valeur très particulière de x) . Cela doit faciliter la recherche du signe de g'
Dernière modification par danyvio ; 21/12/2011 à 19h39.
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
personnellement je ne vois pas !? Car en observant les courbes représentatives F et D respectivement de f(x)=e^x et d(x)=x, je ne vois pas d'intersection entre F et D . Ou bien est-ce que je me trompe ?<indication :le dénominateur est toujours > 0 (sauf pour une valeur très particulière de x)
OK en effet je suis allé trop vite sur ce point. Il n'en reste pas moins que le dénominateur est bien toujours > 0Envoyé par zyket
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Je suis bien d'accord, mais btisseme doit-il le démontrer ? Que dit son énoncé ? Car personnellement j'ai fait l'exo et je ne le trouve pas évident pour un devoir de lycéen si il n'y a pas plus d'accompagnement.
Alors oui c bien g(x) = exp(x) -1/ exp(x) - x
sans parenthèse cela me donne g'(x) = exp(x)*exp(x)-1 - exp(x)-1*exp(x)-1/ (exp(x)-x)²
je sais pas si c'est plus compréhensible lol
oups je me suis trompé en recopiant la dérivé c'est g'(x) = exp(x)*exp(x)-x - exp(x)-1* exp(x) -1/( exp(x) - x)²
g'(x) = exp(x) * exp(x) -x - ( exp(x)-1)² /( exp(x) - x)²
ensuite je ne sais pas comment faire
il manque des parenthèses dans l'expression de g'(x)
et aussi dans g(x)
g(x)=(exp(x)-1)/(exp(x)-x)
oui ou non ?
Parce que comme tu l'écris cela se traduit par
laquelle est la bonne expression de g(x) ?
a d'accord lol j'ai du mal avec l'Écriture alors c'est comme vous l'avez écrit
g(x)=(exp(x)-1)/(exp(x)-x)
Très bien maintenant on sait de quoi on parle. C'est toujours mieux
Réécrit ta dérivée g'(x) en faisant très attention aux parenthèses stp
alors j'ai g'(x) = exp(x)*(exp(x)-x)-(exp(x)-1)*(exp(x)-1)/ (exp(x)-x)²
Mouai , manque encore des parenthèses !! ce que tu as écrit se lit :
ce qui n'est pas la même chose que
Alors laquelle est la bonne ?
dsl décidément moi et les parenthèses sa fait 2! c'est la deuxième la bonne celle que vous avez réécrite
moi j'ai développé le numérateur et j'ai laissé le dénominateur en paix (puisque c'est un carré cela nous arrange bien car il sera toujours positif et donc le signe de g'(x) ne dépendra plus que du signe du numérateur) . Que trouves-tu ?
donc après je trouve g'(x) = ((exp(x)*(exp(x)-x)-(exp(x)-1)²) / (exp(x)-x)²
C'est ça, maintenant développe le numérateur (car personnellement je ne vois pas de mise en facteur possible)
exp(x)*(exp(x)-x) = exp(2x)-xexp(x) nn ?
oui. Et le reste du numérateur ?
g'(x)=exp(2x)-xexp(x) - ((exp(2X)-exp(x)-exp(x)+1)
C'est bien ca?
Oui , maintenant que se passe-t-il si tu enlèves les parenthèses dans la fin de l'expression ? (attention aux signes !!)
alors cela me donne g'(x)= exp(2X) - xexp(x) - exp(2X) + exp(x) + exp (x) - 1
g'(x)= - xexp(x)+ exp(x) + exp(x) -1
VOILA ensuite je factorise pas exp(x) nn ?
c'est ce que j'ai fait
cela donne bien g'(x) = exp(x)(-x+1+1)-1
g'(x) = exp(x)(2-x) -1
mais le -1 me gêne donc je ne sais pas si ce que jai fait est bon
Je suis bien d'accord avec toi le -1 est gênant, mais je trouve comme toi. Serions nous deux à nous tromper ?
attention tu fais un petit abus de "langage" : g'(x) n'est pas égal à exp(x)(2-x) -1 !! C'est le numérateur de g'(x) qui est égal à exp(x)(2-x) -1
Je te propose d'appeler ce numérateur h(x). On a donc g'(x)=h(x)/(exp(x)-x)² (Soit dit en passant tu n'as jamais démontrer que (exp(x)-x) était différent de 0 et donc que g était dérivable pour tout x réel)
Et comme (exp(x)-x)² est positif pour tout réels x (puisque c'est un carré), g'(x) a le signe de son numérateur h(x)=exp(x)(2-x) -1
Il va donc falloir trouver le signe de h(x) en fonction de x. Et c'est là que les choses se compliquent un peu. Du moins pour moi. Car personnellement je ne sais pas résoudre une inéquation du type : exp(x)(2-x) -1>0.
Je suis donc passé par l'étude de la fonction h(x) pour savoir si elle s'annule, si elle est éventuellement positive ou négative.
mais oui je suis étourdie car un peu plus haut dans mon dm on ma demandé étudier la fonction f(x) = exp(x) (2-x) -1 et jai trouvé quelle etait croissante sur (-infinie ,1)et décroissante sur (1 + Infinie )
et pour démontrer que (exp(x)-x) est positif il faut bien dire que exp(x) est toujours positif donc (exp(x)-1) positif?
très bien pour la première partie.
Quant à ça
(en gras une petite faute de frappe)pour démontrer que (exp(x)-x) est positif il faut bien dire que exp(x) est toujours positif donc (exp(x)-x) positif?
Malheureusement il ne suffit pas que exp(x) soit toujours positif pour dire que exp(x)-x est toujours strictement positif.
Je pense qu'il va falloir aller chercher dans ton cours du côté des croissances comparées entre exp(x) et x
a oui d'après la croissance comparée entre exp(x) exp(x) est strictement plus grand que x d'où exp(x)-x positif .
pour les variations de g(x) je peut donc dire qu'elle est croissante sur (-infinie 1) et décroissante sur (1 +INFINie) ?
