dm math TS exponentielle

[invite0e9ce32b]

Bonjour, voilà j'ai un dm de math que j'ai tenté de faire mais il me pose beaucoup de probleme par les signes, j'aimerais recevoir un peu d'aide s'il vous plait . Merci d'avance.

f(x)= x-1 + (x2+2) e^-x
pour tout l'exo on peu admettre que lim x² e^-x = 0 quand x tend vers +∞

-Etude fonction auxiliaire

g(x) = 1-(x²-2x+2)e^-x

1) Limites

en -∞ :
lim -(x²-2x+2) = lim -(x²) = -∞
lim e^-x = +∞
donc par produit lim -(x²)^-x = -∞
lim 1=1
donc par soustraction lim g(x)= -∞ quand x tend vers -∞

en +∞ :
lim -(x)² = -∞
lim e^-x = 0
FORME INDETERMINEE en 0 X ∞

lim -x²e^-x = lim -x²/ ex = lim 1/(ex/-x²) = 0
lim g(x) = 1 quand x tend vers +∞

2. Dérivée et signe

de la forme u.v = u'v+uv'
g'(x) = (2-2)e^-x + (x²-2x+2) -e^-x
g'(x) = -e^-x (x²-2x+2) (cela me parait bisard)

l'exponentielle est toujours positif donc g(x) est du signe du polynôme (x²-2x+2)

delta = -4
donc le polynôme est du signe de a= -4

-tableau de variation

x - ∞ 4 +∞
g'(x) + -
g(x) croit ]-∞;4] décroit [4;+∞[

- démontrer g(x)=0 admet une solution unique alpha dans R
-donner un encadremetn d'amplitude 10^-2 de alpha
-en déduire le signe de g(x), suivant les valeurs de x

Là je bloque, j'aimerais savoir si tous ce que j'ai mis précedamment est juste et comment poursuivre svp
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[KeM]

Salut, c'est de l'application pure du théorème des valeurs intermediaires, regardes bien ce que tu peux dire de g sur l'intervalle ]-l'infini;4] et cherche à montrer que g(x) = 0 est impossible sur [4;+l'infini[ (en minorant par exemple).
Pour l'encadrement tu peux faire par dichotomie à la calculette.
La dernière question devrait alors venir toute seule si tu relis tout.

[invite0e9ce32b]

Merci de votre réponse mais vu que c'était dans R cela me parraissait bisard,
donc dans ]-∞;4] g est continue et strictement croissante de ]-∞;4] vers ]-∞;f(4)] par contre je n'arrive pas à calculculer f(4) car sa me donne 0,82
Ensuite il faudrait que je puisse dire 4 appartient à ]-∞;f(4)] donc il existe un x unique dans R tel que f(x)=4

Ya til des erreurs dans les questions précédente ? aider moi svp

[invite0e9ce32b]

Je crois que j'ai compris mon erreur mais je suis pas sûr
je pense que je doit plutôt dire que g(x) est continue et srictement croissante de [0;4] vers [g(0);g(4)] = [-1;g(4)]
0 appartient à [-1;g(4)] donc il existe un x unique dans [0;4] tel que g(x)=0

Est ce juste ? et combien fait g(4)

[A voir en vidéo sur Futura]

[KeM]

tu peux donner trouver sa valeur exacte avec l'expression de mais là on s'en fiche un peu faut juste dire que c'est supérieur à 0 (donc le montrer) pour appliquer le TVI (enfaite appliquer son corollaire aussi dit théorème de la bijection est plus pratique dans ce cas comme ca tu montres que il existe une unique solution dans ).

Enfin il faut que tu montres que l'équation n'admet pas de solution sur et sur (ce qui est facile avec des majorations et minorations).

[invite0e9ce32b]

Je n'ai pas vu ce qu'est les majorations et minoratiosn, pouvait vous m'expliquer s'il vous plait,
est ce une question de minimum et de maximum ?

[KeM]

Le majorant d'un ensemble dans c'est un élément de tel que tous les élements de soient inférieurs ou égal à ce nombre.
Exemple : 1 est un majorant de , en effet . Mais on peut aussi dire que 2, , , 2011 sont des majorants de .
On définit le minorant de la même facon mais cette fois-ci c'est le nombre qui est plus petit.

Un maximum c'est un majorant qui appartient à donc on peut pas forcément en trouver un (exemple est majoré par 1 mais n'a pas de maximum) c'est juste une parenthèse pour te montrer que ce n'est pas pareil.

Bref, étant décroissante sur et comme alors (on a minoré par 1) donc que peut-on conclure à propos de l'équation sur cette intervalle ?

Tu fais pareil sur (c'est un peu plus facile) en majorant.

[invite0e9ce32b]

donc on peut conclure que sur cet interval , l'équation g(x)=0 n'admet pas de solution dans l'intervalle ]4;+ ∞[

ensuite
g étant croissante sur ]-∞;0[ et comme lim g(x)= -∞ quand x tend vers -∞ alors x appartient ]-∞;0[
1 supérieur ou égal à g(x) , donc l'équation g(x)=0 n'admet pas de solution ]-∞;0

[invite0e9ce32b]

j'ai trouvé mon erreur, car cest du signe de a car delta est négatif et a=1 donc c'est positif

[invite0e9ce32b]

donc g(x) est donc continue et strictement croissante

[pallas]

attention à ce que vous ecrivez les fonctions sont f ou g ou h et f(x) voir g(x) SONT DES NOMBRES DONC LES phrases énoncées sont FAUSSES (' c'est f continue et non ...)