Devoir Math spé

[invite302e61f3]

Bonjour,

Je suis blocké sur mon dm de spé math;

a) Combien utilise t-on de chiffres pour numéroter les pages d'un livre de 257 pages?
b) Combien de pages possède un livre dont la numérotation a nécessité 1119 chiffres?
c) Démontrer que le nombre de chiffres nécessaires à la numérotation d'un livre comprenant entre 100 et 999 pages est un multiple de 3.
d) Y'a t-il une propriété analogue pour un nombre de pages entre 1000 et 9999 ?

Je suis désolée de mettre mon devoir comme cà mais je ne comprend rien du tout. Comment on peut démontrer cà? :0
Pouvez-vous au moins poser le problème parce que là..
-----

[Paminode]

A mon sens, il faut essayer de voir s'il y a des pages ayant 1 chiffre par page, et d'autres avec 2 chiffres par page, et enfin 3 chiffres par page.

[invite302e61f3]

Oui mais comment le démontrer? Parce que j'ai compris ce qu'il faut montrer pour la question a et b, mais je vais pas lancer la réponse comme cà.. :s

[invite302e61f3]

Peut-être faudrait-il prendre une inconnue? Ou une constante pour montrer cela.. C'est là ou je suis blocké en faite

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paminode]

Pour ma part, je la jouerais simple.
Combien y a-t-il de pages à 1 chiffre ?
Combien à 2 chiffres ?
Combien à 3 chiffres ?
Pourquoi vouloir faire compliqué ?

[invite302e61f3]

Mmmh'.
J'ai fait ce calcul;
14*10*4= 560 chiffres. C'est cà ? Par contre je sais pas comment le rédiger.

Pour le b, il suffit de dviser par deux non? On trouve 559.5 pages donc 560 pages.

Par contre pour le c.. :0

[Paminode]

J'ai fait ce calcul;
14*10*4= 560 chiffres.

Et comment as-tu trouvé 14, 10 et 4 ?

Pour le b, il suffit de diviser par deux non? On trouve 559.5 pages donc 560 pages.

Pourquoi par 2 ?
Combien faut-il de chiffres pour numéroter la page 8 ? Et la page 125 ?

[invite302e61f3]

Ah oui, vous avez raison.

J'ai multiplier par deux chaque unitée de 257; 2*7 * 5*2 * 2*2

Pour la b, je vois ce que vous voulez me montrer, mais je pense que le résultat est juste.. Il suffit de diviser par deux, puis de rajouter une page. La page sera numéroté que d'un coté, non ?

[invite4492c379]

Salut,

Bonjour,

Je suis blocké sur mon dm de spé math;

a) Combien utilise t-on de chiffres pour numéroter les pages d'un livre de 257 pages?

Un livre a toujours un nombre pair de pages (1 feuille = 2 pages, nombre entier de feuilles ...). Donc toutes les pages ne sont pas numérotées pour donner du sens à l'énoncé. On suppose évidemment aussi que numéroter consiste à utiliser les chiffres arabes pour numéroter les pages en commençant à 1.

b) Combien de pages possède un livre dont la numérotation a nécessité 1119 chiffres?
c) Démontrer que le nombre de chiffres nécessaires à la numérotation d'un livre comprenant entre 100 et 999 pages est un multiple de 3.
d) Y'a t-il une propriété analogue pour un nombre de pages entre 1000 et 9999 ?

Je suis désolée de mettre mon devoir comme cà mais je ne comprend rien du tout. Comment on peut démontrer cà? :0
Pouvez-vous au moins poser le problème parce que là..

si on note , avec i>0, le nombre de chiffres nécessaire pour paginer i pages on a :



, où est la partie entière, et le logarithme décimal.

Après c'est du calcul.

Pour le c, c'est de la réflexion ... si est un multiple de 3, alors ajouter une page ajoutera 3 chiffres pour toutes les pages de 100 à 999.

Pour le d, on envie de dire ... multiple de 4 ... mais cela se vérifie (ou pas) comme pour la c.

A+

[Paminode]

J'ai l'impression que vous confondez chiffre et nombre.
La page 8 demande 1 chiffre : 8.
La page 125 demande 3 chiffres : 1, 2 et 5.
D'autre part, vous confondez page et feuille.
Chaque page d'un livre est numérotée, ou chaque feuille est numérotée recto verso.
Donc la phrase "La page sera numérotée que d'un coté" n'a pas de sens.

[Paminode]

si on note , avec i>0, le nombre de chiffres nécessaire pour paginer i pages on a :



, où est la partie entière, et le logarithme décimal.

Après c'est du calcul.

Pour le c, c'est de la réflexion ... si est un multiple de 3, alors ajouter une page ajoutera 3 chiffres pour toutes les pages de 100 à 999.

Pour le d, on envie de dire ... multiple de 4 ... mais cela se vérifie (ou pas) comme pour la c.

Je ne sais pas si c'est du niveau de la classe de Jorgy.
D'autre part, ce n'est pas le bulldozer pour déplacer une feuille morte ?

[invite302e61f3]

Pour la b, la technique employé n'est pas de mon niveau en effet.
Je vois ce que vous voulez me dire mais pour moi c'est simple, il y a deux numéros par pages ( recto verso ) donc on diviser par deux le nombres de chiffre.

[invite4492c379]

Je ne sais pas si c'est du niveau de la classe de Jorgy.
D'autre part, ce n'est pas le bulldozer pour déplacer une feuille morte ?

Oops ... je me suis fait hypnotisé par Math spé ...

C'est vrai réecrivons alors :

[invite302e61f3]

Merci photon, je comprend la question c et d maintenant

[Paminode]

Pour le c, c'est de la réflexion ... si est un multiple de 3,

ce qui est obligé, puisque c'est un multiple de 9 : 9 * 1 + 90 * 2

alors ajouter une page ajoutera 3 chiffres pour toutes les pages de 100 à 999.

Exact.

Pour le d, on envie de dire ... multiple de 4 ... mais cela se vérifie (ou pas) comme pour la c.

est un multiple de 3, comme on a dit : 9 * 1 + 90 * 2 + 900 * 3 = 2889 chiffres. Ce n'est pas un multiple de 4.
Ensuite, chaque fois que l'on va ajouter une page, on va ajouter 4 chiffres. Peu probable que le résultat donne 4k.

[Paminode]

Pour la b, la technique employé n'est pas de mon niveau en effet.
Je vois ce que vous voulez me dire mais pour moi c'est simple, il y a deux numéros par pages ( recto verso ) donc on diviser par deux le nombres de chiffre.

Non ! Vous confondez page et feuille : une page porte un seul numéro. C'est une feuille qui est formée d'un recto et d'un verso, donc de 2 pages.

[invite302e61f3]

Ok'! Merci beaucoup à vous deux. J'ai tout compris pour les questions c et d.
Ps; Pour la d, le nombre de chiffres nécessaires à la numérotation d'un livre entre 1000 et 9999 est 4 non ? Puisque on a toujours 4 chiffre?

Par contre pour la a, J'ai multiplier par deux chaque unitée de 257; 2*7 * 5*2 * 2*2, est-ce juste?

Pour la b, je ne comprend pas ce qu'a fait photon.. :s

[Paminode]

N_i = N_i-1+2 pour 10<i<100

Je ne crois pas.
Prenons i = 24
i-1 = 23 d'où N_i-1 = N₂₃ = 2 chiffres : 2 et 3
Eh bien N_i = N₂₄ = 2 chiffres également : 2 et 4

[invite302e61f3]

Ah d'accord Paminode.. Sauf qu'on parle bien de pages dans la question b non ?

[invite4492c379]

Je ne crois pas.
Prenons i = 24
i-1 = 23 d'où N_i-1 = N₂₃ = 2 chiffres : 2 et 3
Eh bien N_i = N₂₄ = 2 chiffres également : 2 et 4

(...)
si on note , avec i>0, le nombre de chiffres nécessaire pour paginer i pages on a :
(...)

N₂₄ est le nombre total de chiffres utilisés pour numéroter les pages de 1 à 24. Il s'agit donc bien du nombre de chiffres utilisés jusqu'à 23 (N₂₃) + 2 (car 24 s'écrit avec 2 chiffres).

[Paminode]

Exact ! Pardon pardon ! Je me suis emmêlé les pinceaux entre nombre de chiffres par page et nombre de chiffres utilisés depuis la page 1.
Cela étant, je crois que l'on peut résoudre cela facilement.
Pages 1 à 9 : 1 chiffre : donc N₉ = 9*1 = 9
Pages 10 à 99 : 2 chiffres : donc il faut 90*2 = 180 ; donc N₉₉ = 9*1 + 90*2 = 189
Pages 100 à 999 : 3 chiffres
Donc N₂₅₇ = ?

[invite302e61f3]

C'est pas grave.

J'ai fait; 7*1 * 50*2 * 200*3 = 707

C'est bien cà?

[Paminode]

Non.
Le livre a 257 pages.
Les pages 1 à 9 ont un seul chiffre : 1, 2, 3... 9 , soit 9 pages à 1 chiffre
Les pages 10 à 99 ont 2 chiffres, soit 99-9 = 90 pages à 2 chiffres
Les pages 100 à 257 ont 3 chiffres, soit 257-99 = 158 pages à 3 chiffres
D'où : N₂₅₇ = 9*1 + 90*2 + 158*3 = 9 + 180 + 474 = 663 chiffres

[invite302e61f3]

Ah d'accord! Merci bien, j'ai compris.
Donc pour la question a et b, c'est bon.

Pour la c, on a toujours 3 chiffres donc c'est forcément mutliple de 3.. Après j'ai pas très bien compris la démonstration. :s Pareil pour la d, ou je pense qu'on peut en déduire que dans ce cas, c'est multiple de 4..

[Paminode]

b) Il faut résoudre :
9 + 180 + 3(x-99) = 1119
c)
9 + 180 + 3(x-99) = 3[3 + 60 + (x-99)] = 3k : multiple de 3 quelque soit x
d)
9 + 180 + 900 * 3 + 4(x - 999) Ce n'est vraisemblablement pas un multiple de 4.

[invite302e61f3]

D'accord. Merci pour tout!