Besoin d'aide sur les exponentielles :)

[loupixx]

Bonsoir chers mathématiciens
J'aurais besoin de votre aide sur une question d'un sujet traitant de la fonction exponentielle, voilà l'énoncé de cette question qui fait partie d'un exercice:

On me demande de justifier que la position de Cf, courbe représentative de la fct f(x) = x - ( (exp(x) - 1) / (exp(x) +1) ) par rapport à T, sa tangente au point d'abscisse 0 dont l'équation est y = (1/2)x, dépend du signe de g(x) = x/2 - ( (exp(x) - 1)/ (exp(x) + 1) ).

Donc la je suis d'accord puisque pour étudier la position relative de deux fonctions on étudie le signe de leur différence et je trouve bien le résultat attendu soit : f(x) - T0 = g(x)
Ensuite on me demande de préciser cette position après avoir étudié les variations de g. C'est ce qui me gène, j'ai calculé la dérivée de la fonction g(x) mais je n'arrive pas à dresser un tableau de signe ...

Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait ?
Bonne soirée à vous
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[yogodo]

Bonsoir

Alors je n'ai pas vu d'autres moyen que de d'étudier le signe de g''(x) comme ça tu auras les variations de g'(x) et tu pourras en déduire ainsi son signe et donc les variations de g

[loupixx]

Merci bien yogodo pour ta réponse. Entre temps j'ai essayé autre chose : je calcule ma dérivée
Soit g'(x) = ( exp(2x) - 2exp(x) + 1)/ (2(exp(x) +1)^2 ) puis j'ai fait un changement de variable pour trouver les éventuelles racines
Enfin j'arrive à obtenir le signe de g'(x) et donc à conclure sur le sens de variations de g..
Trouves-tu cela cohérent ?

[zyket]

Bonjour,

je trouve le même g'(x) que toi, mais en plus ...

il y a une identité remarquable cachée dans g'(x).

Rappel exp(2x)=(exp(x))²

[A voir en vidéo sur Futura]

[loupixx]

Merci zyket pour ta confirmation.
Oui, j'avais remarqué que g'(x) pouvait s'écrire [ (exp(x))² -2exp(x) +1 ]/ [ 2(exp(x)+1)² ]
C'est d'ailleurs pour cela que j'ai décidé de poser exp(x) = X et ainsi transformer l'écriture en g'(x) = [ X² -2X + 1 ]/[ 2(exp(x)+1)² ] c'est beaucoup plus simple pour avoir les racines de la dérivée. ça me semble juste mais je n'en suis pas sûre...
Est-ce que quelqu'un aurait fait comme moi ?..

[zyket]

J'ai fait comme toi !

Mais que peux-tu dire de [ X² -2X + 1 ] puisque c'est une identité remarquable, dont on trouve effectivement facilement les racines.

Et en effet on peut facilement conclure sur le signe de g'(x).

[loupixx]

Je peux en dire que c'est l'identité remarquable (x-1)² et un carré est toujours positif
Merci de ton aide!
Une autre question me demande d'étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 : f définie sur [0 ; +l'infini [ par f(x)=exp(-1/x) pour x>0 et f(0)=0
J'ai commencé par étudier la lim de [f(0+h) - f(0)] /h quand h tend vers 0.
Je trouve alors que f est dérivable en 0 et que f'(0)=1 car comme f(0) = 0 on a f(h)/h = 1 Non ??

[zyket]

Pour la continuité en un réel, rappel du cours : "Dire que f est continue en a signifie que f admet une limite égale à f(a)"
Donc pour démontrer que f est continue en 0 il faut que tu prouves que



Pour la dérivabilité en en réel : "Dire que f est dérivable en un réel a signifie que lorsque h tend vers 0, le taux de variation de f entre a et a+h tend vers un réel L. Ce réel L est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f'(a)" Ce qui correspond à ce que tu as commencé de faire. La fin est fausse.

Peux-tu m'écrire à quelle expression tu arrives avec [f(0+h) - f(0)] /h quand h tend vers 0

[loupixx]

[f(0+h) - f(0)] /h quand h tend vers 0 = f(h)/h mais puisque h tend vers 0 f(h) = f(0) =0 ?? A ce moment là le quotient [f(0+h) - f(0)] /h serait égal à zéro.

Sinon j'ai essayé avec l'autre forme qui me parait plus simple puisqu'elle fait apparaître f(x).
Bref, en étudiant la limite de [f(x) - f(0)] / (x - 0) quand x->0 j'obtiens lim de f(x)/x (x->0) = lim [exp(-1/x)]/x (x->0)
J'ai posé -1/x = X on a alors lim exp(X)/ (-1/X) = lim - exp(X)X = 0 par produit..

Est-ce juste ? En conclusion j'aurais dit que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0 on a donc l'implication suivante puisque f est dérivable en 0 alors f est continue en 0

[loupixx]

[f(0+h) - f(0)] /h quand h tend vers 0 = f(h)/h mais puisque h tend vers 0 f(h) = f(0) =0 ?? A ce moment là le quotient [f(0+h) - f(0)] /h serait égal à zéro.

Sinon j'ai essayé avec l'autre forme qui me parait plus simple puisqu'elle fait apparaître f(x).
Bref, en étudiant la limite de [f(x) - f(0)] / (x - 0) quand x->0 j'obtiens lim de f(x)/x (x->0) = lim [exp(-1/x)]/x (x->0)
J'ai posé -1/x = X on a alors lim exp(X)/ (-1/X) = lim - exp(X)*X = 0 par produit..

Est-ce juste ? En conclusion j'aurais dit que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0 on a donc l'implication suivante puisque f est dérivable en 0 alors f est continue en 0