Bonjour j'ai un exercice :
Les nombres Fermat
Pierre Fermat (16001-1665) est à l'origine de nombreux problèmes d'arithmétique .
Il étudia en particulier les nombres Fn de la forme 2^2^n +1 et qui portent aujourd'hui son nom .
1. Calculer F0,F1,F2, et F3 et vérifier que ces nombres sont premiers .
2 . Fermat pensait que tous les nombres Fn étaient premiers mais Euler affirma plus tard que F5 ne l'était pas .
Créer, dans votre calculatrice, un programme donnant la décomposition en facteurs premiers d'un entier ( page 20 de votre livre ) . Tester Le programme avec un entier pas trop grand puis utiliser le pour démontrer que F5 n'est pas premier .
3. Le but de cette question est de démontrer que 2 nombres distincts de Fermat sont toujours premiers entre eux .
Soit n et k deux entiers naturels non nuls . on pose : x=2^2^n
(a) Exprimer en fonction de x les nombres Fn et F(n+k) .
(b) Démontrer que F(n+k)-2 est divisible par Fn . On pourra alors utiliser par récurrence sur l'entier k .
(c) En déduire que : Pgcd (Fn; F(n+k) )= Pgcd (Fn;2).
(d) Conclure que Fn et F(n+k) sont premiers entre eux .
J'ai fait la question 1, 2 et 3 (a) .Pouvez-m'aider svp à résoudre la question 3 (b) et (c)
Merci d'avance
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