Bonjour j'aurais une petite question a vous soumettre et merci de m'aider
On a la fonction F(x) definie sur [0;+oo[ par Fn(x)=(x/n)- exp(-nx) avec n entier superieur ou egal a 2.
On a demontré que l'equation Fn(x)=0 admet une unique solution notée Un sur [0;+oo[
La question est : on admet que pour tout réel x, exp(x)>x+1. Verifier que un apparient à l'intervalle ](1/n);1[
merci d'avance!
bonjour,
ça se fait par recurrence,tu connais ?
Bah oui evidemment merci!
si tu as un soucis pour la fin, dis moi
Ca n'est pas par recuurence en fait car on ne peut pas faire d'initialisation... Pour n=2 cela revient a resoudre x*exp(2x)=2... D'autres idees?
En fait on s'en sort grace à une approximation suivie d'une petite bijection
biensur que ci !Envoyé par letudiantdu83
x^n = exp(-nx)
c'est vrai au rang n ( sup à 2)
passons au rang n+1
donc on comprare (x/n+1) et exp( -(n+1)x) soit exp(-nx)*exp(-x)
(x/n+1) = x*n/(n*n+1)
or x^n vaut exp(-nx) ( recurrence )
a toi de continuer
tu finira par trouver que (n+1)/n =exp(x)
et du coup tu encadres la solution.
Ce n'est pas x^n qui vaut exp(-nx) mais (x/n)... Et en utilisant ton raisonnement je fait
(x/n)/((n+1)/n)=exp(-nx)*exp(-x)
exp(-nx) * n/(n+1)=exp(-nx) * exp(-x)
exp(x)=(n+1)/n
Donc on tombe sur la meme chose mais si on peut arriver a encadrer a je dis bravo parce que encadrer une expression avec 2 variables sans relation entre elles...
En fait je croit qu'il suffit de prendre la relation 1/n<un<1 de lui appliquer la fonction fn strictement croissante d'ou on a verifié que fn(1/n)<0<fn(1) et comme elle est bijective la reciproque est verifiée...
Mais du coup j'ai une autre question a faire si tu peux m'aider...
verifier que F(n+1)(un)= [exp(-(n+1)*(un))/(n+1)] * (n*(exp(un)-1)-1)
oki, j'ai fait beaucoup d'erreur de frappe en me recopiant, désolé( sauf le resultat qui a échappé à ma distraction de récriture)
mais l'exercice n'est pas terminé car il faut montrer que
1/n<x<1
avec e(x)=(n+1)/n avec x>0
première inégalité e(x)=1+1/n
soit comme e(x)>x+1 alors x+1< e(x) = 1+1/n donc x<1/n<1
deuxième inéquation
1/n<x
a suivre , pas par provoc, mais obligation familiale !!
pardon pour le retard
e(x)=1+1/n
x = ln( 1+1/n) > 1/n
encore une grosse boulette de ma part que tu as du coriger de toi même
"soit comme e(x)>x+1 alors x+1< e(x) = 1+1/n donc x<1/n<1" ( c'est faux , shame on me )
il fallait lire e(x)=1+1/n donc x = ln(1+1/n)<1=ln(e)
pour te faire rire, ça aussi, c'est faux.
( ps: j'ai du me faire hospitalisr d'urgence , et j'étais sous morphine depuis 2 jours.
j'ai pas toute ma tête)
je te prie de m'excuser.
Merci beaucoup! et désole de t'avoir pris autant de ton temps bon rétablissement en tout cas!
pour m'enfoncer encore d'avantage sic'est possible,sches que même ma première résolution est fausse, celle de Fn (qu'on ne demand pas en plus )
à force d'ecrire x au lieu de u(n), j'ai à un moment confondu x+1 avec U(n+1)!
première fois que je fais une erreur aussi lamentable. le mot est faible.
raison aussi pour laquelle la résolution de la 2ème inéquation est erronée.
quand on part dans une mauvaise direction ....on se retrouve perdu dans la nature
je crois que je vais me mettre à faire du tricot...
grrrr !
