TD terminale S

[inviteb8548654]

Bonjour,
J'ai un TD à faire et je bloque à 3 questions, pouvez-vous m'aider ?

> Notons f une fonction dérivable sur ]0;+oo[ telle que pour tous réels x et y strictement positifs, f(xy)=f(x)+f(y)
Supposons x fixé et considérons la fonction g définie sur ]0;+oo[ par : g(y)=f(xy)=f(x)+f(y).

1) Pourquoi g est-elle dérivable sur ]0;+oo[ ?

2) Démontrez que, pour tout réel y>0, g'(y)= xf'(xy) = f'(y) (2)

3) Déduisez de (2) que pour tout réel x>0, xf'(x)=f'(1)=k avec k=f'(1)

Pour la 1) je pense que c'est parce que g est la somme d'une fonction constante f(x) et de f(y) dérivable, mais je ne suis pas sûr.
c'est en rapport avec un cours sur la fonction logarithme. merci =)
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[invitee840409b]

Bonjour,

1) Pourquoi g est-elle dérivable sur ]0;+oo[ ?

En général, en Terminale, le but de ce genre de questions est simplement de montrer que c'est une somme/produit de fonctions dérivables.
Or, à x fixé, f(x) est une constante, donc f(x) est dérivable. Et on t'a dit que f est dérivable.
Or, « la somme de deux fonctions dérivables est dérivable » (c'est la phrase magique), donc pour x fixé f(x)+f(y) est dérivable, donc pour x fixé f(xy) est dérivable, donc g est dérivable.

2) Démontrez que, pour tout réel y>0, g'(y)= xf'(xy) = f'(y) (2)

De même, à x fixé, f(x) est une constante.
Autre indice : essaye de dériver A*f(B*y)

3) Déduisez de (2) que pour tout réel x>0, xf'(x)=f'(1)=k avec k=f'(1)

Indice : xf'(x) = xf'(x*1)

ProgVal