devoir de mathématiques, VECTEURS

[invite8e554096]

Bonjour, je suis en classe de seconde et j'ai un devoir sur les vecteurs. Je suis complètement perdue, le manuel ne m'est d'aucune utilité! J'ai besoin d'aide! SVP
Voici ce fameux DM:
Centre de gravité
ABC est un triangle quelconque.
Les points A',B' et C' sont les milieux respectifs des côtés (BC), (AC) et (AB) (segments)
Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure (la seule chose que j'ai réussi à faire --")
On rappelle que G est le point de concourt des médianes et que AG=2/3AA' ; BG=2/3BB' et CG=2/3CC'

1-Expliquer pourquoi on a AGvecteur=2/3AA'vecteur . Ecrire 2 autres égalités semblables.
2-Démontrer que GAvecteur=-2GA'vecteur
3-Soit D est le point tel que GBDC soit un parallélogramme. Le construire.(également fait)
Démontrer que GDvecteur=2GA'vecteur
4-Exprimer GDvecteur en fonction de GBvecteur et de GCvecteur.
5-Déduire des questions précédentes que si G est le centre de gravité du triangle ABC, alors:
GAvecteur+GBvecteur+GCvecteur= 0vecteur
6-On se propose maintenant de démontrer la réciproque de cette propriété.
Le point K est défini par: KAvecteur+KBvecteur et KCvecteur=0vecteur. Démontrer que KGvecteur=0vecteur
Que peut on en conclure?

Voilà! je vous remercie d'avance
-----

[zyket]

Bonjour,

Pour la question 1), en utilisant l'énoncé qui nous dit que G est le point de concourt des médianes, cela veut dire que G appartient aux médianes. En particulier que G est sur la médiane (AA'), donc les points AGA' sont ..... ? On peut donc écrire une expression un peu générale entre les vecteurs et , laquelle ?

[invite8e554096]

Rebonjour, merci d'avoir répondu:
AGA' sont donc alignés, et AGvecteur et AA'vecteur sont colinéaires? Oui?

[zyket]

Oui, tout à fait. Donc si AGvecteur et AA'vecteur sont colinéaires, Il existe donc un réel, alpha, tel que .....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8e554096]

2/3! AGvecteur=2/3AA'vecteur et on fait de même pour BGvecteur;BB'vecteur et CGvecteur;CC'vecteur qui sont les 2 autres égalités semblables. C'est ça?

[zyket]

Oui, on fait de même avec les autres vecteurs.

Mais il faudra préciser pourquoi AGvecteur=2/3AA'vecteur ? En fait il faut montrer pourquoi le réel alpha est égal, dans le cas qui nous préoccupe, à 2/3. Pour cela il faut se servir d'une partie de l'énoncé : laquelle ?

[invite8e554096]

G est le centre de gravité et AG=2/3AA' , c est la propriété qui concerne le point concourt des médianes qui se situe à 2 tiers à partir de leur "sommet". Cette explication est suffisante?

[zyket]

Oui, je pense que cette explication est suffisante.

En effet puisque AGA' sont alignés alors il existe un réel alpha, tel que vecteur AG = alpha . vecteur AA'. D'où norme de vecteur AG = norme de alpha . vecteur AA'
Or norme de alpha . vecteur AA'=alpha . norme de vecteur AA' et comme norme de vecteur AA'=distance AA', (idem pour distance AG) alors alpha=2/3

[invite8e554096]

Je vous remercie beaucoup de m'avoir aidé et d'avoir pris du temps pour me répondre. Juste pour la question 2, je souhaiterai votre avis sur la rédaction:
GAvecteur et GA'vecteur sont colinéaires, GAvecteur=2/3AA'vecteur , GA'vecteur=1/3AA'vecteur alors GA'vecteur=1/2GAvecteur donc GAvecteur=-2/1GA'vecteur

[zyket]

Je dirais qu'il y a de bonnes idées mais quelques petites erreurs.

La petite erreur : ce n'est pas

GAvecteur=2/3AA'vecteur

mais c'est AGvecteur=2/3AA'vecteur (Et c'est en fait une erreur grosse de conséquence puisqu'il y a inversion de signe)

Ensuite on ne comprend pas bien le passage d'une étape à l'autre : par exemple pourquoi

GA'vecteur=1/3AA'vecteur

qui est juste, mais il faudrait montrer comment on y arrive à partir de AGvecteur=2/3AA'vecteur qui est notre point de départ puisqu'il est donné dans l'énoncé. Pense à te servir de la relation de Chasles. Par exemple : vecteur AA'=vecteurA? + vecteur?A' . Par quel point du plan remplacer "?" pour faire apparaître quelque chose désintéressant pour nous dans cette relation de Chasles ?

[invite8e554096]

AGvecteur=2/3AAvecteur
AA'vecteur=AGvecteur+GA'vecteu r
GA'vecteur=AA'vecteur-GAvecteur

C'est mieux?

[zyket]

Très bien, et en continuant pour ne conserver que des AG et des A'G .... ?

[invite8e554096]

AGvecteur-A'Gvecteur?

[zyket]

D'après le résultat précédent, tu as : AGvecteur=2/3AA'vecteur

tu viens d'écrire que : AA'vecteur=AGvecteur+GA'vecteu r

(En math quand a=2/3 x b et que b=(c +d) alors a=2/3x(c+d)) donc AGvecteur=.....

[invite8e554096]

Ah oui, alors:
AGvecteur=2/3(AGvecteur+GA'vecteur)
AGvecteur=2/3AGvecteur+2/3GA'vecteur

Mais après?

[zyket]

Après, on manipule les vecteurs comme les nombres en algèbre.

Par exemple, avec a et b des nombres réels :
qu'on peut écrire aussi sans le point qui symbolise une sorte de "multiplication" entre un réel et un vecteur.

Et en se souvenant aussi que

Donc quand on a une expression avec des sommes de vecteurs, on fait comme en algèbre on rapproche les termes de même nom en les déplaçant de part et d'autre du signe égal.

Par exemple dans l'expression juste que tu as trouvée : AGvecteur=2/3AGvecteur+2/3GA'vecteur,

je te propose de mettre tout ce qui est AGvecteur à gauche de l'égalité et tout ce qui est GA'vecteur à droite car on doit arriver à GAvecteur=-2GA'vecteur.

A toi de jouer !

[invite8e554096]

AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur

Suis-je sur la bonne voie avec ça? ou pas du tout?

[zyket]

Si si tout à fait sur la bonne voie. Ne t'arrête pas en si bon chemin, continue !

[invite8e554096]

AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur
-1/3GAvecteur=2/3GA'vecteur
GAvecteur=(2/3)/(-1/3)GA'vecteur
GAvecteur=-2GA'vecteur

non???

[zyket]

C'est tout à fait ça !

Pourquoi ce "non???" . Tu n'as pas l'air sûr de toi. Quelque chose te chagrine-t-il ?

[invite8e554096]

le passage de AGvecteur-2/3GAvecteur à -1/3GAvecteur, le -1/3 pourquoi ce n'est pas 1/3? on ne fait pas 1-2/3=1/3? D où vient ce "-" en fait?

[zyket]

Parce que j'ai lu trop rapidement tes calculs et que je n'ai pas vu cette erreur: AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur qui est faux
En partant de AGvecteur=2/3AGvecteur+2/3GA'vecteur, on "passe" 2/3AGvecteur à gauche du signe égal en lui changeant de signe ce qui donne AGvecteur-2/3AGvecteur=2/3GA'vecteur et non pas AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur

[invite8e554096]

Donc je reprends:
AGvecteur-2/3AGvecteur=2/3GA'
1/3AGvecteur=2/3GA'vecteur

Et là-1/3GAvecteur=2/3GA'vecteur devient juste?

[zyket]

Oui,

et en multipliant par -3 chaque membre de l'égalité on obtient .....

CQFD

[invite8e554096]

Merci beaucoup! J'ai beau me creuser la tête sur la suite de ce devoir, je pense encore avoir besoin de votre aide si cela ne vous dérange pas.
En regardant par exemple la question suivante: Démontrer que GDvecteur=2GA'vecteur alors que cela ne correspond absolument à la figure, et que je ne vois pas de quelle manière je peux le prouver.

[zyket]

Si cela ne correspond pas à ta figure, c'est que ta figure doit être fausse

On a GBDC parallélogramme, comment s'appellent les segments[GD] et [BC] ?
Dans un parallélogramme quels sont les (ou la) propriété(s) de ces segments ?

[invite8e554096]

Oui, la figure est fausse en effet je viens de m'en rendre compte. --" ça devient déjà plus clair!
(BC) et (GD) sont les diagonales de ce parallélogramme et se coupent donc en leur milieu A'.
Donc GA'vecteur=A'Dvecteur
Donc GDvecteur=2GA'vecteur

Ce raisonnement suffit? Ça me semble un peu maigre...

[zyket]

On pourrait juste préciser que : comme on sait que A' est le milieu de [BC] (c'est une donnée de l'énoncé) et que les diagonales du parallélogramme GBDC se coupent en leur milieu, donc A' est le milieu de la diagonale [GD], donc (comme tu l'écris) GDvecteur=2GA'vecteur (qui est une des façons de dire que A' est milieu de [GD])

[invite8e554096]

Bonjour, me revoilà avec d'autres questions au sujet de ce DM!
La question 4 à présent:
Exprimer GDvecteur en fonction de GBvecteur et GCvecteur. Je ne vois pas le rapport entre ces vecteur hormis le parallélogramme GBDC, que faut-il faire en fait?

[zyket]

On demande d'exprimer GDvecteur en fonction de GBvecteur et GCvecteur.

En regardant bien la figure : comment fait-on pour arriver en D en partant de G ? Quels ''chemins" peut-on prendre ?