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devoir de mathématiques, VECTEURS



  1. #1
    anterak83

    devoir de mathématiques, VECTEURS

    Bonjour, je suis en classe de seconde et j'ai un devoir sur les vecteurs. Je suis complètement perdue, le manuel ne m'est d'aucune utilité! J'ai besoin d'aide! SVP
    Voici ce fameux DM:
    Centre de gravité
    ABC est un triangle quelconque.
    Les points A',B' et C' sont les milieux respectifs des côtés (BC), (AC) et (AB) (segments)
    Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Faire une figure (la seule chose que j'ai réussi à faire --")
    On rappelle que G est le point de concourt des médianes et que AG=2/3AA' ; BG=2/3BB' et CG=2/3CC'

    1-Expliquer pourquoi on a AGvecteur=2/3AA'vecteur . Ecrire 2 autres égalités semblables.
    2-Démontrer que GAvecteur=-2GA'vecteur
    3-Soit D est le point tel que GBDC soit un parallélogramme. Le construire.(également fait)
    Démontrer que GDvecteur=2GA'vecteur
    4-Exprimer GDvecteur en fonction de GBvecteur et de GCvecteur.
    5-Déduire des questions précédentes que si G est le centre de gravité du triangle ABC, alors:
    GAvecteur+GBvecteur+GCvecteur= 0vecteur
    6-On se propose maintenant de démontrer la réciproque de cette propriété.
    Le point K est défini par: KAvecteur+KBvecteur et KCvecteur=0vecteur. Démontrer que KGvecteur=0vecteur
    Que peut on en conclure?

    Voilà! je vous remercie d'avance

    -----


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  3. #2
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Bonjour,

    Pour la question 1), en utilisant l'énoncé qui nous dit que G est le point de concourt des médianes, cela veut dire que G appartient aux médianes. En particulier que G est sur la médiane (AA'), donc les points AGA' sont ..... ? On peut donc écrire une expression un peu générale entre les vecteurs et , laquelle ?

  4. #3
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Rebonjour, merci d'avoir répondu:
    AGA' sont donc alignés, et AGvecteur et AA'vecteur sont colinéaires? Oui?

  5. #4
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Oui, tout à fait. Donc si AGvecteur et AA'vecteur sont colinéaires, Il existe donc un réel, alpha, tel que .....
    Dernière modification par zyket ; 04/01/2012 à 11h35.

  6. #5
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    2/3! AGvecteur=2/3AA'vecteur et on fait de même pour BGvecteur;BB'vecteur et CGvecteur;CC'vecteur qui sont les 2 autres égalités semblables. C'est ça?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Oui, on fait de même avec les autres vecteurs.

    Mais il faudra préciser pourquoi AGvecteur=2/3AA'vecteur ? En fait il faut montrer pourquoi le réel alpha est égal, dans le cas qui nous préoccupe, à 2/3. Pour cela il faut se servir d'une partie de l'énoncé : laquelle ?

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  10. #7
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    G est le centre de gravité et AG=2/3AA' , c est la propriété qui concerne le point concourt des médianes qui se situe à 2 tiers à partir de leur "sommet". Cette explication est suffisante?

  11. #8
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Oui, je pense que cette explication est suffisante.

    En effet puisque AGA' sont alignés alors il existe un réel alpha, tel que vecteur AG = alpha . vecteur AA'. D'où norme de vecteur AG = norme de alpha . vecteur AA'
    Or norme de alpha . vecteur AA'=alpha . norme de vecteur AA' et comme norme de vecteur AA'=distance AA', (idem pour distance AG) alors alpha=2/3

  12. #9
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Je vous remercie beaucoup de m'avoir aidé et d'avoir pris du temps pour me répondre. Juste pour la question 2, je souhaiterai votre avis sur la rédaction:
    GAvecteur et GA'vecteur sont colinéaires, GAvecteur=2/3AA'vecteur , GA'vecteur=1/3AA'vecteur alors GA'vecteur=1/2GAvecteur donc GAvecteur=-2/1GA'vecteur

  13. #10
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Je dirais qu'il y a de bonnes idées mais quelques petites erreurs.

    La petite erreur : ce n'est pas
    GAvecteur=2/3AA'vecteur
    mais c'est AGvecteur=2/3AA'vecteur (Et c'est en fait une erreur grosse de conséquence puisqu'il y a inversion de signe)

    Ensuite on ne comprend pas bien le passage d'une étape à l'autre : par exemple pourquoi
    GA'vecteur=1/3AA'vecteur
    qui est juste, mais il faudrait montrer comment on y arrive à partir de AGvecteur=2/3AA'vecteur qui est notre point de départ puisqu'il est donné dans l'énoncé. Pense à te servir de la relation de Chasles. Par exemple : vecteur AA'=vecteurA? + vecteur?A' . Par quel point du plan remplacer "?" pour faire apparaître quelque chose désintéressant pour nous dans cette relation de Chasles ?

  14. #11
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    AGvecteur=2/3AAvecteur
    AA'vecteur=AGvecteur+GA'vecteu r
    GA'vecteur=AA'vecteur-GAvecteur

    C'est mieux?

  15. #12
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Très bien, et en continuant pour ne conserver que des AG et des A'G .... ?

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  17. #13
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    AGvecteur-A'Gvecteur?

  18. #14
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    D'après le résultat précédent, tu as : AGvecteur=2/3AA'vecteur

    tu viens d'écrire que : AA'vecteur=AGvecteur+GA'vecteu r

    (En math quand a=2/3 x b et que b=(c +d) alors a=2/3x(c+d)) donc AGvecteur=.....

  19. #15
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Ah oui, alors:
    AGvecteur=2/3(AGvecteur+GA'vecteur)
    AGvecteur=2/3AGvecteur+2/3GA'vecteur

    Mais après?

  20. #16
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Après, on manipule les vecteurs comme les nombres en algèbre.

    Par exemple, avec a et b des nombres réels :
    qu'on peut écrire aussi sans le point qui symbolise une sorte de "multiplication" entre un réel et un vecteur.

    Et en se souvenant aussi que

    Donc quand on a une expression avec des sommes de vecteurs, on fait comme en algèbre on rapproche les termes de même nom en les déplaçant de part et d'autre du signe égal.

    Par exemple dans l'expression juste que tu as trouvée : AGvecteur=2/3AGvecteur+2/3GA'vecteur,

    je te propose de mettre tout ce qui est AGvecteur à gauche de l'égalité et tout ce qui est GA'vecteur à droite car on doit arriver à GAvecteur=-2GA'vecteur.

    A toi de jouer !
    Dernière modification par zyket ; 05/01/2012 à 11h03.

  21. #17
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur

    Suis-je sur la bonne voie avec ça? ou pas du tout?

  22. #18
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Si si tout à fait sur la bonne voie. Ne t'arrête pas en si bon chemin, continue !

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  24. #19
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur
    -1/3GAvecteur=2/3GA'vecteur
    GAvecteur=(2/3)/(-1/3)GA'vecteur
    GAvecteur=-2GA'vecteur

    non???

  25. #20
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    C'est tout à fait ça !

    Pourquoi ce "non???" . Tu n'as pas l'air sûr de toi. Quelque chose te chagrine-t-il ?

  26. #21
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    le passage de AGvecteur-2/3GAvecteur à -1/3GAvecteur, le -1/3 pourquoi ce n'est pas 1/3? on ne fait pas 1-2/3=1/3? D où vient ce "-" en fait?

  27. #22
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Parce que j'ai lu trop rapidement tes calculs et que je n'ai pas vu cette erreur: AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur qui est faux
    En partant de AGvecteur=2/3AGvecteur+2/3GA'vecteur, on "passe" 2/3AGvecteur à gauche du signe égal en lui changeant de signe ce qui donne AGvecteur-2/3AGvecteur=2/3GA'vecteur et non pas AGvecteur-2/3GAvecteur=2/3GA'vecteur

  28. #23
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Donc je reprends:
    AGvecteur-2/3AGvecteur=2/3GA'
    1/3AGvecteur=2/3GA'vecteur

    Et là-1/3GAvecteur=2/3GA'vecteur devient juste?

  29. #24
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Oui,

    et en multipliant par -3 chaque membre de l'égalité on obtient .....

    CQFD

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  31. #25
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Merci beaucoup! J'ai beau me creuser la tête sur la suite de ce devoir, je pense encore avoir besoin de votre aide si cela ne vous dérange pas.
    En regardant par exemple la question suivante: Démontrer que GDvecteur=2GA'vecteur alors que cela ne correspond absolument à la figure, et que je ne vois pas de quelle manière je peux le prouver.

  32. #26
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Si cela ne correspond pas à ta figure, c'est que ta figure doit être fausse

    On a GBDC parallélogramme, comment s'appellent les segments[GD] et [BC] ?
    Dans un parallélogramme quels sont les (ou la) propriété(s) de ces segments ?

  33. #27
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Oui, la figure est fausse en effet je viens de m'en rendre compte. --" ça devient déjà plus clair!
    (BC) et (GD) sont les diagonales de ce parallélogramme et se coupent donc en leur milieu A'.
    Donc GA'vecteur=A'Dvecteur
    Donc GDvecteur=2GA'vecteur

    Ce raisonnement suffit? Ça me semble un peu maigre...

  34. #28
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    On pourrait juste préciser que : comme on sait que A' est le milieu de [BC] (c'est une donnée de l'énoncé) et que les diagonales du parallélogramme GBDC se coupent en leur milieu, donc A' est le milieu de la diagonale [GD], donc (comme tu l'écris) GDvecteur=2GA'vecteur (qui est une des façons de dire que A' est milieu de [GD])
    Dernière modification par zyket ; 05/01/2012 à 21h39.

  35. #29
    anterak83

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    Bonjour, me revoilà avec d'autres questions au sujet de ce DM!
    La question 4 à présent:
    Exprimer GDvecteur en fonction de GBvecteur et GCvecteur. Je ne vois pas le rapport entre ces vecteur hormis le parallélogramme GBDC, que faut-il faire en fait?

  36. #30
    zyket

    Re : devoir de mathématiques, VECTEURS

    On demande d'exprimer GDvecteur en fonction de GBvecteur et GCvecteur.

    En regardant bien la figure : comment fait-on pour arriver en D en partant de G ? Quels ''chemins" peut-on prendre ?

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