somme d'une suite géométrique

[invite7f2ac864]

Bonjour à tous, j'ai essayé au moins à 6 reprises de résoudre un même exercice sur les suites géométriques mais sans succès donc je remercie ceux qui vont m'aider.

Il faut trouver la raison a de la suite telle que:

1+a²+a³+a⁴+ ... +a⁹⁹ = 1023

Alors la suite est u_n = aⁿ.
Donc Sn = (1 - a¹⁰⁰)/(1 - a) = 1023.

Mais après même après développement, factorisation ou je ne sais quel procédé, il m'est impossible d'en dégager une valeur de a.

Merci d'avance.

Ps: Peut-on faire un trait de fraction par l'intermédiaire d'une balise ?

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[invite51d17075]

Donc Sn = (1 - a¹⁰⁰)/(1 - a) = 1023.

Mais après même après développement, factorisation ou je ne sais quel procédé, il m'est impossible d'en dégager une valeur de a.

quue tu peux ecrire ln(1-a^100)-ln(1-a) = ln(1023)
ensuite un petit developpement limité.

[invite7f2ac864]

Ah on n'a pas encore vu les développements limités mais d'après ce que je viens de lire, je crois comprendre que:

ln( 1 - a ) = Σ(-1)^k+1 x^k/k de k=1 à k=+infinie

mais après ça ne m'aide pas, une petite aide please.

[invite68f2fb17]

Pour les traits de fractions, utilise latex et écrit (fait répondre avec citation pour voir le code)

Ensuite, pour les sommes utilise la formule :



Avec S : somme
: premier terme
q : raison
n : nombre de termes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite68f2fb17]

J'ai essayé d'edit, j'avais pas bien lu.
Si jamais ça peut t'aider, en résolution graphique, ça donne q environ = 1.03737800400579276

[danyvio]

Une piste à (peut-être) explorer :
S₉₉=(1-a¹⁰⁰)/(1-a) OK
De même
S₁₀₀=(1-a¹⁰¹)/(1-a)
Remarquons que :
S₁₀₀=S₉₉+a¹⁰⁰=1023+a¹⁰⁰
d'où:

(1-a¹⁰¹)/(1-a)=1023+a¹⁰⁰
Je ne sais pas si cela fait avancer le schmilblick

[invite7f2ac864]

mais au final on se retrouve toujours avec du a¹⁰⁰- 1023a +1022 = 0.

Sur mon livre de maths, l'exercice, que je cherche à résoudre juste pour le plaisir de savoir le résoudre, était mis avec un astérisque donc je pense que cela signifie qu'il est plus dur.

[danyvio]

Je sens que ce problème va me conduire à de regrettables extrémités :

[invite7f2ac864]

peut-être ne peut-on pas le résoudre par le calcul mais simplement par dichotomie, d'où l'astérisque.

[invite68f2fb17]

Dans ton exemple, il ne manque pas a^1, donc a par hasard?

[invite7f2ac864]

oui exacte désolé j'avais pas du tout fait attention

Il faut trouver la raison a de la suite telle que:
1+a+a²+a³+a⁴+ ... +a⁹⁹ = 1023

[invite68f2fb17]

Bon, pas que ça aide beaucoup mais bon...

[inviteea028771]

Il n'existe pas de méthode générale permettant de trouver les racines d'un polynôme de degré > 4.

Ici a est racine d'un polynôme de degré 100, il est donc probable qu'il n'y ai pas de solution exacte. Une approximation par calcul numérique est alors necessaire

Ici a est environ égal à 1.037378

[danyvio]

La solution est-elle unique ?

[invite51d17075]

bonjour,
j'essaye autre chose.
1023=1024-1=2^10-1 = (1-2^10)/(1-2)
donc 1023= somme(0à9)(2^k)
de l'autre coté
somme(0à99)(a^k) peut aussi s'ecrire somme(0à9)(a^10k)*somme(0à9)(a ^k)

somme(0à9)(a^10k)*somme(0à9)(a ^k) = somme(0à9)(2^k)

je ne sais pas aller plus loin mais c'est peut être une piste ?!???

[invite51d17075]

heu !
j'ose esperer qu'il n'y a pas de faute de frappe dans l'énoncé par exemple:
somme(0à9)a^k au lieu de 99 !!
sinon c'est quand même "hard" pour un exercice de "lycée".
dans quel type de livre as-tu trouvé cet exercice ?

[inviteea028771]

La solution est-elle unique ?

Dans R+, oui, sinon dans C elle n'est pas unique.

!une petite étude de fonction permet de montrer que la solution est unique dans R

[invite7f2ac864]

Livre de TS mais il y avait un astérisque donc je pense que l'on peut seulement trouver une valeur par dichotomie bien que par le calcul serait l'idéal.

[invite68f2fb17]

Si on fait la résolution par ordinateur :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...+%2B1022+%3D+0
Deuxième solution, cliquer sur more digits pour augmenter la précision

[invite7f2ac864]

Bon je pense que cela va suffire.