Dérivée périodique.

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
Je me posais une question en passant sur ce forum:
si f est périodique, alors f' est périodique ? (il me semble que oui)
Et est ce que la réciproque est vraie. (il me semble que non)
Existe t-il une démo correcte ?

Merci d'avance.
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[inviteea028771]

si f est périodique, alors f' est périodique ? (il me semble que oui)

Oui, à condition que f soit dérivable ^^

Soit f de période p, alors



f' est alors périodique, de période au plus p

Et est ce que la réciproque est vraie. (il me semble que non)

f'(x) = 1 est périodique, pourtant f(x) = x n'est pas périodique.

sin(x)+x a aussi une dérivée périodique sans être périodique (elle est même strictement croissante)

De fait, une fonction dont la dérivée est une fonction périodique positive (et pas tout le temps nulle) ne peut pas être périodique

[PlaneteF]

Pour la dérivée d'une fonction périodique f, on peut aussi utiliser directement la dérivée d'une fonction composée :



soit

[danyvio]

Pour la dérivée d'une fonction périodique f, on peut aussi utiliser directement la dérivée d'une fonction composée :



soit

Je ne suis pas convaincu par cette démo, car le passage de la ligne 1 à la ligne 2 et plus précisément ' qui devient ' anticipe la conclusion

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Je ne suis pas convaincu par cette démo, car le passage de la ligne 1 à la ligne 2 et plus précisément ' qui devient ' anticipe la conclusion

Bonjour danyvio,

J'avoue ne pas du tout comprendre ta remarque ???


A la base tu as la formule

A partir de là tu appliques directement cette formule en prenant soit

... et maintenant, puisque par hypothèse , on peut donc remplacer par dans la formule précédente, ... et donc on anticipe aucune conclusion (sic), on applique simplement l'hypothèse de départ, à savoir f périodique !

... ce qui donne bien au finish .


Cordialement

[invite0e29aa7d]

Bonjour,

Je tiens à remettre à jours ce poste pour poser une question complémentaire, la voici

Est-ce que la période d'une fonction f' est la même que celle de sa fonction f qui est périodique ?

[gg0]

Bonjour.

Tu as déjà la preuve que si P est une période de la fonction dérivable f, alors P est une période de f'.
Considère maintenant une période Q de f'. Que peux-tu dire de l'intégrale de f' sur un intervalle [a, a+Q] (*) ?

Cordialement.

(*) on prendra l'intégrale de Kurzweil-Henstock pour que l'intégration donne bien f(a+Q)-f(a). Voir ceci.