Probabilités asie juin 2010

[benpotter]

Bonjour, j'ai le sujet suivant :
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 1/3.
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4/5.
On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout entier n strictement positif, on considère les événements suivants :
An : « Alice atteint la cible au nième coup » ;
Bn : « Alice rate la cible au nième coup ».

La première question est : traduire les données. Je ne comprends pas réellement cette question. Quelqu'un peut-il m'éclairer?
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[shokin]

Tu peux commencer par dessiner un tronc d'arbre qui se divise en deux branches, verte pour lancer réussi, rouge pour lancer raté, chacune égale à 1/2.
Chacune des deux branches se divise, à son tour, en deux branches verte et rouge, cette fois-ci :

- si elles viennent d'une branche verte, la sous-branche verte égale 1/3, la sous-branche rouge = 2/3. [La somme de deux branches nées d'une même branche est toujours égale à 1.]
- si elles viennent d'une branche rouge, la sous-branche verte égale 1/5, la sous-branche rouge = 4/5.

La probabilité de suivre un "chemin" égale le produit des probabilités de chaque branche parcourue.

p(An) = la probabilité, celle qui t'intéresse, de réussi le n-ième coup égale la somme des fractions des branches vertes de l'étage n (le 1er étage étant la première division, celle où la branche verte et la branche rouge ont la même probabilité),
p(Bn) = la probabilité de rater le n-ième coup égale la somme des fractions des branches rouges de l'étage n.

Essaie pour n = 2, n = 3, etc. Essaie ensuite de généraliser.

"traduire les données" sous-entend "les traduire en langage mathématique", souvent en formules, en (in)équations ou en fonctions.

[benpotter]

j'ai plutôt mis quelque chose comme :
PAn(An+1)=1/3
PAn(Bn+1)=2/3
PBn(Bn+1)=4/5
PBn(An+1)=1/5
(probabilités conditionnelles)
C'est bon?

[shokin]

Tu peux en effet partir des données suivantes :

Soient :
- n le n-ième lancer,


-
-
-
-

Après, il s'agit de manipuler tout cela avec les formules sur la probabilité conditionnelle, aussi le théorème de Bayes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[benpotter]

merci. Tu crois que c'est ça qu'il attend pour cette question?
Ou bien veut-il en plus que je trouve une formule pour déterminer P(An) et P(Bn)?
Sachant qu'après il me demande de faire un arbre pondéré et de démontrer que Pn+1=2/15 Pn+1/5.
Je pense qu'il ne veut pas que j'aille plus loin pour la question 1.

[shokin]

Ce que nous avons écrit n'est que la traduction des données.

Après oui, naturellement, il s'agira de chercher une formule générale (pour tout n naturel strictement supérieur à 1), que vous pourrez utiliser si on vous pose des questions comme :

Calculer la probabilité qu'Alice réussisse le septième lancer.

Calculer la probabilité qu'Alice réussisse le quatrième lancer ET rate le sixième lancer.

Calculer la probabilité qu'Alice réussisse le sixième lancer OU rate le neuvième lancer.

Calculer la probabilité qu'Alice, en jouant dix lancers uniquement, en réussisse exactement deux.

Calculer la probabilité qu'Alice, en jouant dix lancer uniquement, en réussisse exactement deux de suite.

Alice a déjà effectué x lancers. La probabilité qu'elle réussisse le (x+1)-ième lancer égale p. Combien de lancers a-t-elle effectués ?

Alice a déjà effectué x lancers. Quelle est la probabilité qu'elle fasse le même résultat (réussir/rater) au (x+1)-ième lancer qu'au x-ième lancer ?

A chaque lancer réussi, Alice gagne 10 euros. A chaque lancer raté, elle en perd 3. Calculer son espérance mathématique de gain en fonction de n.

De quoi s'occuper en s'amusant !

Oui, tu peux passer aux questions suivantes.

[benpotter]

merci, ps : j'ai pris la liberté de mettre n+1 au lieu de n-1 de sorte que n SOIT supérieur ou = à 1

[shokin]

ça va aussi, c'est même plus simple : il suffit de définir n comme nombre naturel non nul.